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1 函数 1

1.1 实数集区间 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 实数集 4

1.1.3 区间 邻域 6

习题1.1 7

1.2 函数的概念 8

1.2.1 常量与变量 8

1.2.2 函数的定义 9

1.2.3 函数的表示分段函数 10

1.2.4 函数的几种特性 12

习题1.2 15

1.3 初等函数 18

1.3.1 反函数 18

1.3.2 基本初等函数 20

1.3.3 复合函数 22

1.3.4 初等函数 24

1.3.5 双曲函数与反双曲函数 25

1.3.6 非初等函数举例 26

习题1.3 28

1.4 建立函数关系举例 29

习题1.4 32

1.5 数学模型与数学实验举例 33

1.5.1 函数拟合 33

1.5.2 小课题研讨(一)：迭代与动力系统 35

习题1.5 38

1.6 函数概念的形成与发展 39

第1章总习题 40

2 导数与极限 42

2.1 导数的概念 42

2.1.1 引例 42

2.1.2 导数概念 44

习题2.1 48

2.2 函数的极限 49

2.2.1 函数极限的定义 50

2.2.2 极限的性质 59

2.2.3 无穷小与无穷大 61

2.2.4 极限的运算法则 64

2.2.5 无穷小的比较 72

习题2.2 78

2.3 函数的连续性 81

2.3.1 函数连续的概念 81

2.3.2 连续函数的运算性质 83

2.3.3 初等函数的连续性 85

2.3.4 函数的间断点及其分类 87

2.3.5 闭区间上连续函数的性质 89

习题2.3 92

2.4.1 函数可导与连续的关系 94

2.4 导数的计算 94

2.4.2 函数的和、差、积、商的求导法则 97

2.4.3 反函数求导法则 99

2.4.4 复合函数求导法则 101

2.4.5 基本求导公式 103

2.4.6 隐函数的导数及对数求导法 104

2.4.7 由参数方程确定的函数的导数 107

2.4.8 极坐标系下曲线的切线问题 109

习题2.4 110

2.5 高阶导数 113

习题2.5 118

2.6 数学模型与数学实验举例 119

2.6.1 与极限和导数相关的例子 119

2.6.2 小课题研讨(二)：机器人设计 121

习题2.6 124

第2章总习题 125

3 微分学的基本定理 127

3.1 微分 127

3.1.1 线性近似 127

3.1.2 微分 130

3.1.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 132

习题3.1 134

3.2 微分中值定理 136

3.2.1 罗尔中值定理 136

3.2.2 拉格朗日中值定理 138

3.2.3 柯西中值定理 140

3.2.4 中值定理的初步应用 141

习题3.2 144

3.3 洛必达法则 146

3.3.1 ？型 148

3.3.2 ？型 150

3.3.3 几点注意 151

3.3.4 0·∞型与∞-∞型 153

3.3.5 1∞型、∞0型及00型 154

习题3.3 155

3.4 泰勒公式 157

3.4.1 泰勒公式 157

3.4.2 几个常用函数的泰勒公式 161

3.4.3 泰勒公式的应用 165

习题3.4 168

3.5 数学模型与数学实验举例 170

习题3.5 171

第3章总习题 171

4 导数的应用 174

4.1 函数的单调性、极值与最值 174

4.1.1 函数的单调性 174

4.1.2 函数的极值 176

4.1.3 最大值与最小值 180

4.1.4 方程根的个数 185

习题4.1 186

4.2 函数的凸性与拐点 191

4.2.1 凸(凹)函数的概念 191

4.2.2 函数凸性的充分条件和必要条件 192

4.2.3 凸函数的性质及其几何意义 194

4.2.4 拐点 196

习题4.2 197

4.3 平面曲线的曲率 199

4.3.1 曲率的概念 199

4.3.2 曲率的计算公式 201

4.3.3 曲率半径、曲率中心和曲率圆 204

习题4.3 206

4.4 渐近线 208

4.4.1 引言 208

4.4.3 曲线斜渐近线的求法 209

4.4.2 曲线渐近线的定义 209

4.4.4 函数在无穷远处的线性近似 211

4.4.5 函数图形的描绘 212

习题4.4 214

4.5 相关变化率 215

习题4.5 218

4.6 近似计算 220

4.6.1 函数值的近似计算 220

4.6.2 方程的近似解 222

习题4.6 227

4.7 导数在经济学中的应用 228

4.7.1 需求分析 228

4.7.2 边际分析 232

4.7.3 弹性分析 234

4.7.4 经济学中的最大值最小值问题 238

习题4.7 242

4.8 数学模型与数学实验举例 244

4.8.1 与微分学应用相关的例 244

4.8.2 小课题研讨(三)：活人炮弹 247

习题4.8 249

第4章总习题 249

5 积分 253

5.1 定积分概念 253

5.1.1 定积分问题的产生 253

5.1.2 定积分的定义 几何意义 256

5.1.3 定积分存在的条件 259

习题5.1 260

5.2 定积分的性质 261

习题5.2 267

5.3 微积分基本定理 269

5.3.1 两个问题的提出 269

5.3.2 微积分第一基本定理 270

5.3.3 原函数和不定积分 275

5.3.4 微积分第二基本定理 280

习题5.3 282

第5章总习题 285

6 积分法 287

6.1 不定积分的基本积分法 287

6.1.1 不定积分的性质 287

6.1.2 不定积分的换元法 290

6.1.3 不定积分的分部积分法 304

6.1.4 几种特殊类型函数的积分 312

习题6.1 318

6.2 定积分的基本积分法 322

6.2.1 定积分的换元法 322

6.2.2 定积分的分部积分法 331

习题6.2 335

6.3 定积分的数值积分法 338

6.3.1 矩形求积方法 339

6.3.2 梯形求积公式 340

6.3.3 抛物线求积公式 344

习题6.3 348

6.4 数学模型与数学实验 349

习题6.4 352

第6章总习题 353

7 定积分的应用与广义积分 355

7.1 定积分的微元法 355

7.2 几何应用 357

7.2.1 平面图形的面积 357

7.2.2 平面曲线的弧长 364

7.2.3 立体体积 367

7.2.4 旋转体的侧面积 375

习题7.2 377

7.3.1 变力沿直线所作的功 379

7.3 物理应用 379

7.3.2 液体对侧面的压力 384

7.3.3 引力 386

习题7.3 388

7.4 其他应用 389

7.4.1 函数的平均值 389

7.4.2 均方根 390

7.4.3 在经济中的应用 391

习题7.4 396

7.5 广义积分 397

7.5.1 广义积分问题的产生 397

7.5.2 无穷区间上的广义积分 398

7.5.3 无界函数的广义积分 403

7.5.4 Γ(Gamma)函数 407

习题7.5 409

7.6.1 与积分应用有关的例 411

7.6 数学模型和数学实验举例 411

7.6.2 小课题研讨(四)：铁路路基施工方案 415

习题7.6 417

第7章总习题 417

8 数列与无穷级数 420

8.1 数列极限 420

8.1.1 数列 420

8.1.2 收敛数列 424

8.1.3 有界数列和单调数列 427

习题8.1 433

8.2 数项级数 436

8.2.1 无穷级数的基本概念 436

8.2.2 收敛级数的基本性质 439

8.2.3 正项级数的性质及其敛散性判别法 442

8.2.4 任意项级数的绝对收敛和条件收敛 453

8.2.5 交错级数 458

习题8.2 463

8.3 幂级数 466

8.3.1 函数项级数的一般概念 466

8.3.2 幂级数及其收敛域 467

8.3.3 幂级数的性质 473

8.3.4 幂级数的求和 476

习题8.3 478

8.4 函数的幂级数展开及其应用 480

8.4.1 泰勒级数 480

8.4.2 几个初等函数的麦克劳林级数展开式 483

8.4.3 函数展开为幂级数举例间接展开法 486

8.4.4 函数幂级数展开式的应用 488

习题8.4 495

8.5 数学模型和数学实验举例 496

第8章总习题 497

习题8.5 497

附录Ⅰ Mathematica 使用入门 501

Ⅰ.1 引言 501

Ⅰ.1.1 进入 Mathematica 501

Ⅰ.1.2 启动Mathematica内核 501

Ⅰ.1.3 退出Mathematica 501

Ⅰ.2 数和算术 502

Ⅰ.2.1 整数和有理数计算 502

Ⅰ.2.2 浮点数(实数)和复数计算 503

Ⅰ.2.3 数学常数的输入 504

Ⅰ.2.4 常用数学函数 504

Ⅰ.3 变量与代数式 505

Ⅰ.3.1 变量命名 505

Ⅰ.3.2 变量赋值与替换 505

Ⅰ.3.3 清除变量 506

Ⅰ.4.1 化简计算结果 507

Ⅰ.4 基本代数运算 507

Ⅰ.4.2 常用的因式分解函数 508

Ⅰ.4.3 多项式的运算 510

Ⅰ.4.4 解方程 510

Ⅰ.4.5 求函数的极值 511

Ⅰ.5 微积分 511

Ⅰ.5.1 求极限 511

Ⅰ.5.2 求导数 512

Ⅰ.5.3 求不定积分 513

Ⅰ.5.4 求定积分 514

Ⅰ.5.5 无穷级数与无穷乘积 514

Ⅰ.5.6 常微分方程(组) 516

Ⅰ.6 函数作图 517

Ⅰ.6.1 二维图形 517

Ⅰ.6.2 三维图形 519

Ⅰ.6.3 标准三维几何体的绘制 520