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目录 1

前言 1

第一章 预备知识 1

1.1 拓扑空间 1

1.1.1 拓扑空间的概念 1

1.1.2 拓扑基 4

1.1.3 连续映射和同胚 5

1.1.4 连通性 6

1.1.5　A2空间 7

1.1.6 T2空间 7

1.1.7 紧致性 8

1.2 向量值函数 9

1.2.1 向量值函数的概念 9

1.2.2 向量值函数的连续性 11

1.2.3 向量值函数的可微性 11

1.2.4 反函数定理 14

1.2.5 秩定理 16

1.3 张量代数 16

1.3.1 向量空间及其对偶空间 17

1.3.2 张量的定义 18

1.3.3 张量积运算 24

1.3.4 对称和反对称协变张量 29

1.4 外代数 32

1.4.1 外积 32

1.4.2 外代数 34

1.4.3 几个重要定理 36

问题与练习 39

第二章 微分流形 43

2.1 微分流形的定义和例子 43

2.2 微分流形上的可微函数与可微映射 54

2.2.1 可微函数 54

2.2.2 流形间的可微映射 56

2.2.3 流形上的光滑曲线 58

2.2.4 流形间的光滑同胚 59

2.3 切空间和余切空间 60

2.3.1 流形M在点p的切向量XP 61

2.3.2 流形M在点p的切空间Tp（M） 62

2.3.3 流形M在点p的余切向量与余切空间 68

2.4 切映射与余切映射 73

2.4.1 切映射 73

2.4.2 余切映射 75

2.5 子流形 78

2.5.1 光滑映射的进一步讨论 78

2.5.2 子流形 81

问题与练习 85

第三章 流形上的张量场 87

3.1 流形上的切向量场 87

3.1.1 基本概念 87

3.1.2　Poisson括号积 92

3.1.3 光滑切向量场的积分曲线 94

3.1.4　F—相关性 95

3.1.5 单参数变换群 96

3.2 流形上点p的（r,s）型张量 101

3.2.1 基本概念 101

3.2.3 协变张量的张量积 102

3.2.3 反称协变张量的外积及其性质 103

3.3 流形上的张量场 105

3.4 黎曼度量 111

问题与练习 114

第四章 外微分形式的积分和Stokes定理 116

4.1 外微分形式 116

4.1.1　s阶外微分形式 116

4.1.2 外微分形式的外积 117

4.1.3 外微分形式间的拉回映射 119

4.1.4　Cartan定理 121

4.2 外微分算子d 122

4.3 外微分形式的积分 Stokes定理 128

4.3.1 流形的定向 128

4.3.2 带边流形和它的定向 130

4.3.3 流形上的m阶外微分形式ω的积分与Stokes定理 132

问题与练习 135

第五章 仿射联络空间 137

5.1 仿射联络 137

5.1.1 仿射联络的定义及局部表示 137

5.1.2 仿射联络的存在性定理 139

5.1.3 仿射联络的挠率和曲率 140

5.1.4 仿射联络的结构方程 143

5.2 仿射联络空间上张量场沿切向量场的共变导数 144

5.2.1 切向量场Y沿切向量场X的共变导数 144

5.2.2 余切向量场ω沿X方向的共变导数？xω 145

5.2.3 （r,s）型张量场T沿切向量场X的共变导数？xT 147

5.3 仿射联络空间上张量场T的共变微分？T 148

5.4　Riemann流形上的Laplace算子 154

5.4.1　Riemann度量诱导仿射联络 154

5.4.2　？f的定义及局部表示 157

5.4.3 散度、梯度和Laplace算子的性质 160

5.4.4　Hopf引理 162

问题与练习 165