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第一章 矩阵论 1

1.1 线性算子与矩阵 1

1.1.1 基本概念 1

1.1.2 可逆算子 2

1.1.3 线性算子的秩和线性方程组 4

1.1.4 线性算子的矩阵表示 6

1.1.5 常用线性算子 10

1.2 广义初等矩阵 16

1.2.1 初等矩阵和阶梯形矩阵 16

1.2.2 广义初等矩阵 20

1.2.3 初等消去矩阵 21

1.2.4 初等直交矩阵 22

1.3 矩阵分解 24

1.3.0 三角分解 24

1.3.1 满秩分解 25

1.3.2 直交分解 26

1.3.3 谱分解 30

1.3.4 若当分解 33

1.3.5 奇异值分解 37

1.3.6 极分解 40

1.4 特征值理论初步 41

1.4.1 一般矩阵的特征值 41

1.4.2 自伴随矩阵的特征值 42

1.4.3 特征值的变分原理 43

1.4.4 特征值的摄动和奇异值的摄动 49

1.5 投影算子 53

1.5.1 空间直接和分解 53

1.5.2 等幂算子 56

1.5.3 投影算子的定义和性质 57

1.5.4 投影算子与可对角化矩阵的谱分解 61

1.5.5 投影算子的和、差、积 65

1.5.6 投影算子的矩阵表示 68

1.6 直交投影算子 69

1.6.1 直交投影算子的定义和性质 69

1.6.2 直交投影算子与部分等距 74

1.6.3 直交投影算子和谱分解 76

1.6.4 直交投影算子的和、差、积 80

1.6.5 直交投影算子的矩阵表示 80

1.6.6 两个直交投影算子的关系 81

1.6.7 直交投影算子乘积的特征值 85

1.7 算子的微分 87

1.7.1 Gateaux导数 88

1.7.2 Frechet导数 90

1.7.3 中值定理 93

习题 96

第二章 广义逆矩阵的基本理论 104

2.1 左逆矩阵与右逆矩阵 104

2.1.1 满秩矩阵与单侧逆 104

2.1.2 左逆矩阵和右逆矩阵的通式 106

2.1.3 满秩矩阵的性质 107

2.2 广义逆矩阵A+的定义和基本性质 108

2.2.1 Moore-Penrose广义逆A+的定义 108

2.2.2 Moore-Penrose广义逆A+的基本性质 111

2.3 广义逆矩阵A- 115

2.3.1 {1}-逆A-的定义和基本性质 115

2.3.2 {1}-逆的通式和相容线性方程组的通解 122

2.4 反射广义逆A？ 127

2.4.1 反射广义逆A？的定义和性质 127

2.4.2 {1，2}-逆的通式 129

2.4.3 具有指定象空间和零空间的{1，2}-逆 130

2.5 极小范数广义逆A？ 135

2.5.1 A？的定义和相容线性方程组的极小范数解 135

2.5.2 极小范数广义逆的表征和通式 138

2.6 最小二乘广义逆A？ 140

2.6.1 A？的定义和不相容线性方程组的最小二乘解 140

2.6.2 最小二乘广义逆的表征和通式 144

2.7 广义逆A+与不相容线性方程组的极小范数最小二乘解 148

2.7.1 线性方程组Ax=b的极小范数最小二乘解 148

2.7.2 A+的进一步的理论性质 157

2.7.3 A+的反序法则 162

2.7.4 利用阶梯形计算A+ 165

2.8 加权广义逆 169

2.8.1 加权广义逆 169

2.8.2 关于加权广义逆的结果 171

2.8.3 通过变换考虑加权问题 175

2.8.4 加权问题的应用 178

2.9 限制广义逆 179

2.9.1 限制广义逆 179

2.9.2 Boot-Duffin逆 183

2.9.3 Boot-Duffin逆在电网络中的应用 187

习题 188

第三章 广义逆矩阵的计算理论 197

3.1 广义逆矩阵A+的表示定理及其应用 197

3.1.1 广义逆矩阵A+的表示定理 197

3.1.2 应用表示定理推导一阶迭代法 200

3.1.3 应用表示定理推导二阶迭代法 204

3.1.4 应用表示定理推导高阶迭代法 205

3.1.5 T？正则化 207

3.1.6 进—步讨论A+的表示式 208

3.2 分块矩阵的广义逆 210

3.2.1 Nobel分块 210

3.2.2 Greville分块 212

3.2.3 Cline分块 217

3.2.4 三角形分块 219

3.2.5 分块矩阵的{1}-逆和{1，2}-逆 223

3.3 加边矩阵和修改矩阵的广义逆 228

3.3.1 加边矩阵的广义逆 228

3.3.2 修改矩阵的广义逆 239

3.4 求广义逆矩阵的加边法及线性方程组解的Cramer法则 242

3.4.1 引言 242

3.4.2 加边法的几个定理 246

3.4.3 利用加边法推导线性方程组解的Cramer法则 250

3.5 Drazin逆 255

3.5.1 矩阵指标的定义和性质 257

3.5.2 Drazin逆的定义和性质 259

3.5.3 群逆 266

3.5.4 Drazin逆和群逆的谱性质 270

3.5.5 Drazin逆的计算 274

3.5.6 用极限表示Drazin逆 279

3.6 广义逆矩阵的微分 281

3.6.1 矩阵函数的导数 281

3.6.2 直交投影矩阵的微分 281

3.6.3 Moore-Penrose广义逆A+的微分 282

3.6.4 Drazin逆的微分 285

习题 287

第四章 广义逆矩阵的摄动理论 294

4.1 逆矩阵的摄动 294

4.1.1 逆矩阵的摄动 294

4.1.2 线性方程组解的误差估计 296

4.2 广义逆矩阵的连续性 299

4.2.1 满秩矩阵广义逆的连续性 299

4.2.2 一般亏秩矩阵的广义逆是不连续的 300

4.2.3 广义逆矩阵连续性的两个定理 302

4.2.4 矩阵的保秩变形 305

4.3 广义逆矩阵的摄动理论 307

4.3.1 酉不变范数 307

4.3.2 投影矩阵范数的一些性质 309

4.3.3 广义逆矩阵的一般摄动定理 317

4.3.4 rank(B)=rank(A)情形广义逆矩阵的摄动定理 320

4.3.5 极小范数最小二乘解的摄动 324

4.3.6 投影算子的摄动 327

4.4 广义逆矩阵的锐角摄动 331

4.4.1 锐角摄动的定义与性质 331

4.4.2 广义逆的锐角摄动定理 335

4.4.3 锐角摄动情形最小二乘解的摄动 340

4.4.4 锐角摄动情形投影矩阵的摄动 344

习题 346

第五章 求广义逆矩阵的常用计算方法 348

5.1 满秩分解方法 348

5.1.1 Gauss消去法 349

5.1.2 Householder变换方法 352

5.1.3 修改的Gram-Schmidt直交化方法 358

5.1.4 最小二乘解的迭代改进 363

5.2 直交化方法 365

5.2.1 直交化方法的动机 365

5.2.2 定理和计算公式 366

5.3 Greville方法 368

5.3.1 Greville方法是G-S直交化过程的一种实现形式 368

5.3.2 选主元对Greville方法是至关重要的 370

5.4 奇异值分解方法 371

5.4.1 引言 371

5.4.2 Givens变换和求特征值的QR方法 372

5.4.3 求奇异值分解的两阶段方法 374

5.4.4 利用奇异值分解计算广义逆和解最小二乘问题 378

5.5 迭代法 380

5.5.1 一阶迭代法 380

5.5.2 高阶迭代法 384

5.5.3 一阶迭代法与高阶迭代法之间的关系 386

5.5.4 二阶迭代法及其数值性质 390

5.6 计算广义逆的试验矩阵 396

5.6.1 引言 396

5.6.2 指定奇异值方法及其产生的试验矩阵 396

5.6.3 参数矩阵方法及其产生的试验矩阵 400

5.6.4 其他试验矩阵 406

习题 408

第六章 广义逆矩阵的应用 411

6.1 解非线性方程组 411

6.1.1 引言 411

6.1.2 广义牛顿迭代及其收敛性 411

6.2 解约束最小二乘和非线性最小二乘问题 415

6.2.1 解约束最小二乘问题 415

6.2.2 解非线性最小二乘问题的高斯-牛顿法 422

6.2.3 解非线性最小二乘问题的Levenberg-Marquardt方法 426

6.2.4 几点注记 427

6.3 解不适定问题的正则化方法 429

6.3.1 引言 429

6.3.2 情形Ⅰ的正则化方法及正则解的性态 432

6.3.3 情形Ⅱ的正则化方法及正则解的性态 436

6.4 区间线性规划问题的显式解 442

6.4.1 区间线性规划问题 442

6.4.2 区间线性规划问题的最优解 444

6.4.3 有上界变量的线性规划问题的最优解 445

6.5 线性规划中的广义逆 448

6.5.1 线性规划的对偶性 448

6.5.2 用广义逆描述线性规划对偶性的特征 451

6.5.3 标准线性规划问题等价的特征向量表示 453

6.6 二次规划中的广义逆 456

6.6.1 等式约束二次规划 456

6.6.2 利用加权广义逆研究正定二次规划 459

6.7 一般约束最优化中的广义逆 462

6.7.1 解线性等式约束问题的广义牛顿法 463

6.7.2 解非线性等式约束问题的广义牛顿法 465

6.7.3 一类罚函数法 466

6.8 拟牛顿公式的统一推导 468

6.8.1 拟牛顿法 468

6.8.2 最小改变割线校正公式 470

6.8.3 对称拟牛顿校正公式的统一推导 474

6.9 可分变量的非线性最小二乘问题 477

6.9.1 可分变量的非线性最小二乘问题 477

6.9.2 有可分非线性约束的可分最小二乘问题 481

6.10 奇异情形的最大似然估计 482

6.11 广义逆在线性估计理论中的应用 485

参考文献 491

附录：国内学者在广义逆方面的主要论著 500