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第一章 函数 1

1.1 函数概念 1

1.1.1 函数 1

1.1.2 函数定义的剖析 4

1.2 函数的几种特性 8

1.2.1 函数的奇偶性 9

1.2.2 函数的单调性 11

1.2.3 函数的周期性 14

1.2.4 函数的有界性 20

1.3 反函数 22

1.3.1 反函数的定义和两种表示形式 22

1.3.2 反函数的图象 26

1.3.3 反函数的存在性 29

1.4 复合函数 32

1.5 初等函数 36

1.5.1 基本初等函数 36

1.5.2 初等函数 43

1.6 杂例讨论 44

习题 47

第二章 数列的极限 49

2.1 数列极限的概念 49

2.1.1 预备知识 49

2.1.2 数列极限的初步描述 52

2.1.3 数列极限概念的精确化 54

2.1.4 运用定义验证数列极限 60

2.1.5 收敛数列与发散数列 70

2.2 数列极限的性质和运算法则 71

2.2.1 预备知识 71

2.2.2 收敛数列的性质 76

2.2.3 数列极限的运算法则 85

2.2.4 利用运算法则求极限 92

2.3 数列极限存在的一个判别法 96

2.3.1 预备知识——单调数列 96

2.3.2 数列极限存在的一个判别法 97

2.3.3 重要极限？（1+？）n 100

2.4 杂例讨论 103

习题 106

第三章 函数的极限 108

3.1 自变量趋于无限时的函数极限 108

3.1.1 x→+∞时的函数极限 108

3.1.2 x→-∞时的函数极限 115

3.1.3 x→∞时的函数极限 119

3.2 自变量趋于有限数时的函数极限 121

3.2.1 x→a时的函数极限 122

3.2.2 函数的单边极限 131

3.3 函数极限的性质和运算法则 133

3.3.1 函数极限的性质 134

3.3.2 函数极限的运算法则 136

3.3.3 求x→∞时的函数极限 136

3.3.4 求x→a时的函数极限 139

3.3.5 重要极限？？=1 142

3.3.6 重要极限？（1+？）x=e 146

3.4 杂例讨论 149

习题 152

第四章 无穷小量与无穷大量 153

4.1 无穷小量 153

4.1.1 无穷小量的概念 153

4.1.2 无穷小量的运算 155

4.2 无穷大量 157

4.2.1 无穷大量的概念 157

4.2.2 无穷大量与无穷小量的关系 162

4.3 无穷小（大）量的比较 164

4.3.1 无穷小量的比较 164

4.3.2 无穷小量的阶 166

4.3.3 无穷大量的比较 170

4.4 杂例讨论 171

习题 173

第五章 连续函数 175

5.1 函数的连续性 175

5.1.1 函数在一点处连续的概念 175

5.1.2 左、右连续 182

5.1.3 区间连续 183

5.2 间断 184

5.2.1 间断的概念 185

5.2.2 间断点的各种情形 186

5.3 初等函数的连续性 190

5.3.1 连续函数的四则运算 190

5.2.2 反函数和复合函数的连续性 192

5.3.3 初等函数的连续性 196

5.3.4 连续理论在求极限方面的应用 198

5.3.5 求极限小结 205

5.4 闭区间上连续函数的性质 207

5.4.1 有界性定理 207

5.4.2 最大最小值定理 208

5.4.3 零值定理 209

5.4.4 介值定理 211

5.4.5 反函数连续性定理的证明 213

5.5 杂例讨论 215

习题 217

第六章 导数与微分 219

6.1 导数的概念 219

6.1.1 实例——导数概念的引出 219

6.1.2 导数定义 225

6.2 简单函数的导数 232

6.3 可导问题 236

6.3.1 可导与连续关系 236

6.3.2 左、右导数 237

6.4 函数的和、差、积、商的求导法则 242

6.4.1 预备知识——关于函数增量的复习 242

6.4.2 函数和、差的求导法则 244

6.4.3 函数积的求导法则 244

6.4.4 函数商的求导法则 247

6.5 反函数的导数 249

6.6 复合函数求导法则 254

6.6.1 预备知识——导数记号yx’及？ 254

6.6.2 复合函数求导法则 255

6.6.3 初等函数求导法小结 263

6.7 求导法补充 265

6.7.1 隐函数求导法 265

6.7.2 对数求导法 267

6.7.3 由参数方程所确定的函数的导数 270

6.8 微分 272

6.8.1 微分的定义与求法 273

6.8.2 微分与函数增量的关系 275

6.8.3 微分的几何意义 278

6.8.4 微分的运算法则，微分形式不变性 279

6.8.5 微分在近似计算中的应用 282

6.9 高阶导数与高阶微分 285

6.9.1 高阶导数 285

6.9.2 高阶微分 295

6.10 杂例讨论 299

习题 302

第七章 微分学基本定理 305

7.1 微分学中值定理 305

7.1.1 罗尔定理 305

7.1.2 拉格朗日定理 310

7.1.3 柯西定理 318

7.2 洛必达法则 321

7.2.1 ？型 321

7.2.2 ？型 326

7.2.3 0·∞，∞-∞型 328

7.2.4 00，1∞，∞0型 331

7.2.5 运用洛必达法则的几点注意 333

7.3 泰勒公式 335

7.3.1 关于x=0的泰勒公式 335

7.3.2 几个简单函数的马克劳林展开式 340

7.3.3 关于x=x0的泰勒公式 345

7.3.4 泰勒公式的二个应用 347

7.4 杂例讨论 350

习题 352

第八章 导数应用 355

8.1 函数单调性的判定 355

8.1.1 复习单调性的定义 355

8.1.2 函数增减的充分判别法 356

8.1.3 函数增减的充要条件 358

8.1.4 研究函数的单调性 360

8.1.5 利用单调性证明不等式 362

8.2 函数的极值与最大（小）值 363

8.2.1 极值的定义和必要条件 363

8.2.2 极值的判别法 365

8.2.3 函数的最大（小）值 368

8.3 函数的凸性的与拐点 374

8.3.1 函数凸性的定义 374

8.3.2 函数凸性的判别法 376

8.3.3 曲线的拐点 378

8.4 曲线的渐近线 381

8.4.1 渐近线的定义 381

8.4.2 渐近线的分类及求法 382

8.5 函数作图 386

8.6 平面曲线的曲率 390

8.6.1 曲率的定义 391

8.6.2 曲率的计算 394

8.6.3 曲率半径 398

8.7 杂例讨论 399

习题 402

第九章 不定积分 405

9.1 不定积分的概念及运算法则 405

9.1.1 不定积分的定义 405

9.1.2 不定积分的基本公式 411

9.1.3 不定积分的运算法则 414

9.2 换元积分法和分部积分法 418

9.2.1 换元积分法 418

9.2.2 分部积分法 432

9.3 有理函数的积分 440

9.3.1 有理函数 440

9.3.2 简单有理真分式的积分 444

9.3.3 有理函数的积分 447

9.4 三角函数有理式的积分 449

9.4.1 万能代换 449

9.4.2 特殊情形 451

9.4.3 引用三角恒等式求积分 453

9.5 简单无理函数的积分 455

9.5.1 形如∫R（x，？）dx的积分 455

9.5.2 形如∫R（x,?）dx的积分 458

9.6 积分法小结 466

9.6.1 求积分的若干方法与基本类型 467

9.6.2 积分法的选择 468

9.6.3 不能用初等函数表示的不定积分 468

9.7 杂例讨论 469

习题 472

第十章 定积分 474

10.1 定积分的概念 474

10.1.1 预备知识——求和记号“∑” 474

10.1.2 实例——定积分概念的引入 476

10.1.3 定积分的定义 482

10.1.4 定积分定义的剖析 484

10.1.5 定积分的存在问题 485

10.1.6 定积分的几何意义及两个规定 489

10.2 定积分的性质 490

10.2.1 定积分的基本性质 490

10.2.2 定积分中值定理 496

10.3 定积分与不定积分的联系 497

10.3.1 积分上限函数 497

10.3.2 微积分学基本定理 498

10.3.3 牛顿——莱布尼兹公式 502

10.4 定积分的换元法及分部积分法 504

10.4.1 定积分的换元法 505

10.4.2 定积分的分部积分法 513

10.5 定积分的近似计算 516

10.5.1 矩形法 517

10.5.2 梯形法 519

10.5.3 抛物线法——辛卜生法 520

10.6 杂例讨论 524

习题 528

第十一章 定积分的应用 530

11.1 平面图形的面积 530

11.1.1 曲线由直角坐标方程给出的情形 530

11.1.2 曲线由参数方程给出的情形 538

11.1.3 曲线由极坐标方程给出的情形 541

11.2 平面曲线的弧长 548

11.2.1 曲线弧长的定义 548

11.2.2 曲线的弧长公式 548

11.3 体积 555

11.3.1 已知平行截面的立体的体积 555

11.3.2 旋转体的体积 561

11.4 定积分在物理中的两个应用 564

11.4.1 功 565

11.4.2 液体的压力 569

11.5 函数的平均值 572

11.6 杂例讨论 575

习题 578

第一～十一章 习题答案 579