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序言 1

第一章 函数概念 3

1.1 常量与变量 3

1.2 绝对值与不等式 5

1.3 函数概念 11

1.4 函数的表示法 18

1.5 反函数 21

1.6 复合函数 25

1.7 函数特性的初步讨论 31

1.8 函数举例 45

2.1 数列极限概念 52

第二章 数列的极限和实数理论初步 52

2.2 数列极限的例 61

2.3 无穷小与无穷大 68

2.4 数列极限的运算 75

2.5 收敛数列的性质 81

2.6 发散数列 88

2.7 有理数与循环小数 93

2.8 实数集 97

2.9 极限存在定理与实数集的连续性 100

2.10 数列极限再举例 107

第三章 函数的极限与连续 117

3.1 函数极限的两种情形 117

3.2 无穷小与极限运算 124

3.3 关于极限的存在定理 133

3.4 函数极限的两个重要例子 138

3.5 函数的连续概念 143

3.6 初等函数的连续性 149

3.7 再谈极限的计算 154

3.8 闭区间上连续函数的性质 161

第四章 导数与微分 171

4.1 导数概念 171

4.2 基本初等函数的导数 175

4.3 导数运算法则 182

4.4 不可导的例 194

4.5 隐函数的求导法则 199

4.6 参数方程求导法则 203

4.7 微分概念 204

4.8 利用微分作近似计算 208

4.9 高阶导数与高阶微分 210

4.10 高阶导数的实际意义与高阶导数不存在的例 217

第五章 微分中值定理 219

5.1 中值定理 219

5.2 利用导数计算极限 226

5.3 台劳公式 234

5.4 台劳公式的一个应用(弓形面积计算) 241

第六章 导数的应用 244

6.1 函数的单调性 244

6.2 曲线的凹凸性 247

6.3 极值问题 253

6.4 渐近线 260

6.5 函数作图 265

6.6 方程的近似解 268

第七章 不定积分 274

7.1 不定积分概念 274

7.2 换元积分法 277

7.3 分部积分法 289

7.4 三角函数的积分 292

7.5 有理函数的积分 295

7.6 无理函数的积分 303

7.7 原函数的存在性问题 309

8.1 定积分概念 312

第八章 定积分及其应用 312

8.2 定积分的基本性质 318

8.3 再谈原函数的存在性问题 326

8.4 牛顿——莱布尼兹公式 330

8.5 定积分的分部积分法和换元法 333

8.6 定积分的应用 337

Ⅰ、面积问题 337

Ⅱ、体积问题 343

Ⅲ、弧长问题 347

Ⅳ、旋转体的侧面积 350

Ⅴ、物理方面的应用 351

Ⅵ、极限计算方面的应用 358

8.7 定积分的近似计算 359

8.8 函数的可积性问题 366

8.9 可积函数类 374

第九章 级数 384

9.1 级数的敛散性 384

9.2 正项级数 391

9.3 任意项级数 400

9.4 级数的运算 408

9.5 函数项级数 415

9.6 一致收敛及其判别法 418

9.7 和函数的连续性、逐项积分、逐项微分 425

9.8 幂级数 430

9.9 幂级数性质的进一步讨论 438

9.10 初等函数的幂级数展开 443

9.11 应用Ⅰ：关于对数值、三角函数值以及根式的计算 455

9.12 应用Ⅱ：π 的计算 461

9.13 应用Ⅲ：定积分的近似计算 464

第十章 集合、映照与实数理论 470

10.1 集合、集与集的关系 470

10.2 集的运算及其性质 476

10.3 映照与函数 485

10.4 计数与势 488

10.5 可列集 493

10.6 具有连续势的集 501

10.7 康托实数理论 506

习题答案 518