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第一篇 电路理论中的常微分方程 1

第一章 常微分方程的定解问题 1

1.1 常微分方程及其定解问题 1

1. 常微分方程的定义 1

2. 方程的阶数和次数 2

3. 方程的自由项和系数 2

4. 方程的解和定解条件 3

5. 线性方程的解的性质 4

6. 微分方程组 5

1.2 电路网络的定解问题 6

1. RLC简单回路的定解问题 6

2. 复杂线性电路的一阶方程组和高阶方程 10

3. 线性电路的激励和响应 11

4. 奇异函数及其应用 12

5. 时变参量回路的微分方程 16

6. 自激振荡回路的微分方程 17

7. 非均匀传输线上简谐波的微分方程 18

2. RL电路的断流和RC电路的放电过程 20

1. 分离变量法解齐次方程 20

第二章 线性方程定解问题的解 20

2.1 一阶线性方程的解 20

3. 常数变易法解非齐次方程 21

4. RL电路的通流和RC电路的充电过程 22

5. RL和RC电路的简谐响应 23

6. RL和RC电路的冲激响应 24

2.2 二阶线性方程解的性质 25

1. 齐次方程的线性无关特解 25

2. 非齐次方程的通解 26

2.3 二阶常系数线性方程的解 26

1. 特征方程法解齐次方程 26

2. RLC回路的自然响应 27

3. 特定系数法解非齐次方程 29

4. RLC回路的简谐响应 30

5. RLC回路的冲激响应 31

2.4 运算微积法解常系数线性方程 32

1. 拉氏变换的基本概念 32

2. 拉氏变换简表 34

3. 化微分方程为代数方程 37

4. 化有理分式为分项分式 38

5. 化微分方程组为代数方程组 39

6. 双RLC耦合回路的简谱响应 40

2.5 二阶变系数线性方程的解法 42

1. 变量代换法及其应用 42

2. 幂级数法概述 44

3. 贝塞耳方程的解 45

4. W.K.B.法解缓变系数振动方程 47

第三章 特殊函数及有关的常微分方程 49

3.1 切比雪夫函数类 49

1. 切比雪夫方程的解 49

2. 切比雪夫多项式的递推关系 50

3. 切比雪夫多项式的函数图形 51

4. 切比雪夫多项式的最佳一致逼近性质 53

5. 应用于线性系统的综合技术 54

6. 正交性和傅里叶-切比雪夫级数 55

1. 纽曼函数和汉克尔函数 57

3.2 贝塞耳函数类 57

2. 整数阶贝塞耳函数类 58

3. 修正贝塞耳函数类 62

4. 球贝塞耳函数类 65

5. 贝塞耳函数类的递推关系 67

6. 整数阶贝塞耳函数的母函数 69

7. 正交性和傅里叶-贝塞耳级数 71

3.3 勒让德函数类 73

1. 整数阶勒让德方程的解 73

2. 勒让德函数的基本性质 76

3. 正交性和傅里叶-勒让德级数 78

4. 连带勒让德函数类 80

3.4 马丢函数类 82

1. 马丢方程及其解的性质 82

2. 马丢方程的解 83

3. 整数阶马丢函数的基本性质 89

4. 整数阶修正马丢函数类 91

4.1 非线性方程的解法 93

第四章 非线性方程定解问题的解 93

4.2 一阶非线性方程的解 94

1. 可严格求积的方程类型 94

2. 黎卡迪方程的性质 96

3. 龙格-库塔法的计算格式 97

4. 计算黎卡迪方程数值解的实例 100

4.3 范德堡方程的解 103

1. 范德堡方程的定解问题 103

2. 微扰法求周期性稳态解 104

3. 缓变振幅法求一级近似解 108

4. 相平面图解法求定性解 109

第二篇 电磁场理论的数学基础 113

第五章 场函数的代数和几何性质 113

5.1 场函数的基本概念 113

1.矢量和场函数 113

2. 二维场和一维场 114

3. 等值线和场型图 115

4. 时变场和时谐场 115

1. 正交坐标系的基本类型 116

5.2 广义正交坐标系 116

2. 椭圆柱坐标系 117

3. 正交坐标系的微分元 118

5.3 矢量和并矢的代数运算 126

1. 矢量代数的总结 126

2. 并矢的定义 129

3. 并矢的代数运算 130

第六章 场函数的微积分学 134

6.1 场函数的曲线积分 134

1. 曲线方程和曲线积分 134

2. 静电场的电位函数 136

3. 线电荷的电场强度 137

4. 静磁场问题中的曲线积分 138

6.2 场函数的曲面积分 139

1. 曲面方程和曲面积分 139

2. 电荷源和电流源 142

3. 电通量和磁通量 144

4. 准静态场的电磁感应 146

6.3 场函数的梯度 147

1. 标量场的方向导数和梯度 147

2. 静电场的电位梯度 149

3. 场函数梯度定义的推广 150

6.4 矢量场函数的散度 152

1. 散度的定义和性质 152

2. 高斯散度定理 153

3. 电磁场高斯定理的微分形式 154

4. 电流连续性原理 155

6.5 矢量场函数的旋度 156

1. 旋度的定义和性质 156

2. 斯托克斯定理 159

3. 时变电磁场定律的微分形式 160

6.6 场函数的微分算符和恒等式 162

1. 哈密顿一阶微分算符 162

2. 二阶微分算符和恒等式 162

3. 格林恒等式 168

2. 在运动坐标系中的时间导数 170

6.7 时变场函数对时间变量的微积分 170

1. 在静止坐标系中的时间导数和积分 170

第七章 电磁场基本方程组 175

7.1 自由空间的麦克斯韦方程组 175

1. 电磁场基本关系的框图 175

2. 麦克斯韦方程组 175

3. 电磁场及其源的对偶性质 180

7.2 单一媒质的麦克斯韦方程组 181

1. 媒质的电磁参量 181

2. 各类媒质的麦克斯韦方程组 183

3. 运动媒质 185

7.3 两种简单媒质分界面上的条件 187

1. 场强法向分量的边界条件 187

2. 场强切向分量的边界条件 188

3. 电流法向分量的连续性条件 189

4. 边界条件方程组 189

8.1 偏微分方程及其定解问题 191

1. 偏微分方程的定义和阶、次 191

第三篇 电磁场理论中的偏微分方程 191

第八章 偏微分方程的定解问题 191

2. 二阶线性方程和定解条件的类型 192

3. 方程和定解问题的解 193

8.2 传输线电路的偏微分方程 194

1. 有源均匀传输线方程 194

2. 均匀无耗耦合传输线方程 196

3. 非均匀无耗传输线方程 197

1. 简单媒质中的阻尼波动方程 198

8.3 电磁场的偏微分方程 198

2. 阻尼波动方程的各种退化形式 199

3. 非均匀介质中的场方程 201

4. 无源回旋媒质中的时谐场方程 201

5. 无源运动媒质中的时谐场方程 203

第九章 分离变量法解线性齐次方程定解问题 205

9.1 一维波动方程定解问题的解 205

1. 齐次方程和齐次边界条件的混合问题 205

2. 分离变量法与傅里叶分析 207

3. 齐次方程的初值问题 208

4. 非齐次方程或/和边界条件的混合问题 209

9.2 传输线和平面电磁波问题 212

1. 无限长理想传输线上的行波 212

2. 理想传输线段的短路放电响应 213

3. 理想传输线电路的稳态响应 213

4. 理想介质中的平面电磁波 215

9.3 拉普拉斯方程边值问题的解 218

1. 基本正交坐标系中的形式解 218

3. 均匀静电场中介质球的干扰场型 224

2. 同轴圆柱体间的一维静电场型 224

4. 方盒形电极间的三维静电场型 226

9.4 亥姆霍茨方程边值问题的解 228

1. 基本正交坐标系中的形式解 228

2. 柱形坐标系中场强分量的关系 229

3. 圆柱形边值问题中本征函数的选择 235

4. 圆柱导体对轴向极化平面波的散射 236

5. 圆球坐标系中的径向模式 237

1. 矩形波导管中的电磁场 239

9.5 轴向导行波边值问题 239

2. 圆形波导管中的电磁场 242

3. 椭圆形波导管中的电磁场 245

9.6 径向导行波边值问题 247

1. 平行板径向波导中的电磁场 247

2. 同轴双圆锥导体的径向横电磁场 249

3. 圆球形空腔中的电磁场 250

9.7 分离变量法的小结 252

第十章 格林函数法解椭圆型方程边值问题 254

10.1 空间冲激函数和格林函数 254

1. 空间激励和空间响应 254

2. 空间冲激函数 254

3. 基本解和格林函数 259

10.2 自由空间电磁场方程的格林函数 260

1. 泊松方程的格林函数 260

2. 非齐次亥姆霍茨方程的格林函数 262

3. 矢量场亥姆霍茨方程的并矢格林函数 265

1. 积分表达式和辅助边值问题 266

10.3 格林函数法解静电场边值问题 266

2. 矩形导体管内平行线电荷的场型 269

3. 圆柱导体腔内点电荷的场型 270

10.4 格林函数法解时谐场边值问题 273

1. 积分表达式和辅助边值问题 273

2. 横向电流激励的矩形波导管 275

3. 轴向电流激励的径向腔 277

4. 格林函数按本征函数系展开法 279

5. 辐射积分和绕射积分 281

6. 惠更斯原理和等效源原理 283

10.5 格林函数法解有源传输线问题 285

1. 积分表达式和辅助边值问题 285

2. 均匀无耗传输线的格林函数 287

3. 谐振线的单点冲激响应 289

第十一章 保角变换法解二维拉普拉斯问题 292

11.1 复变函数的基本概念 292

1. 复数和复变函数 292

2. 复变函数的基本性质 295

1. 柯西-黎曼条件 297

11.2 解析函数的基本性质 297

3. 基本初等函数的定义 297

2. 共轭调和函数 300

3. 图形的保角变换 301

4. 柯西积分定理和积分公式 302

5. 无穷级数 303

6. 留数计算 305

11.3 二维静电场的保角变换 307

1. 复位函数和电场共轭函数 307

2. 保角变换的应用 309

11.4 初等变换及其应用 310

1. 指数-对数变换 310

2. 双曲余弦-反双曲余弦变换 310

3. 双曲正切-反双曲正切变换 313

4. 有理正幂变换 317

5. 倒量变换 319

6. 双线性变换 321

1. 广义多角形 326

11.5 多角形变换的原理 326

2. 施瓦茨-克里斯托菲变换 327

3. 半无限平行板电极对的边缘场型 329

4. 变换积分的讨论 331

11.6 椭圆积分-椭圆函数变换及其应用 332

1. 第一类椭圆积分和椭圆正弦函数 332

2. 矩形内域变换成半平面域 337

3. 椭圆积分和椭圆函数类 340

4. 平行对称薄带电极对的线电容量 345

5. 对称带状传输线的线电容量 347

第十二章 边值问题的近似解法 352

12.1 边值问题的有限差分解法 352

1. 有限差分和差商 352

2. 二维拉普拉斯方程的差分格式 354

3. 边界条件的差分近似 355

4. 差分方程组的解法 357

5. 同轴方形导体间的电位分布和线电容量 359

1. 二维泊松方程的差分格式 361

2. 分区媒质中的差分格式 361

12.2 各类电磁场方程的差分格式 361

3. 三维亥姆霍茨方程的差分格式 362

4. 任意截面均匀波导管问题的差分解法 363

5. 一维波动方程混合问题的差分格式 364

12.3 泛函分析的基本概念 366

1. 泛函和内积 366

2. 算子和含算子的内积 368

3. 线性正算子方程与泛函极小值 369

4. 泛函的变分和欧拉方程 370

12.4 自伴边值问题化为变分问题 372

1. 自伴二阶常微边值问题 372

2. 泊松方程的边值问题 374

3. 拉普拉斯边值问题 376

4. 亥姆霍茨本征值问题 378

5. 广义本征值问题 380

12.5 变分问题的近似解法 381

1. 里兹法的原理 381

2. 坐标函数序列的选择 383

3. 应用于求解波导管问题 385

4. 矢量场算子和算子方程 386

5. 应用于求解谐振腔问题 387

6. 有限单元法原理 389

12.6 矩量法解线性正算子方程 394

1. 矩量法的原理 394

2. 坐标函数和加权函数序列的选择 396

3. 矩量法与里兹法计算结果的比较 398

附录一 伽玛函数 403

附录二 并矢分析 404

1. 电场的并矢格林函数 408

附录三 并矢格林函数 408

2. 按矢量本征函数系展开法 409

3. 矢量本征函数系的构成 410

4. 磁场的并矢格林函数 412

练习题 414

第一篇 习题 414

第二篇 习题 417

第三篇 习题 420

参考资料 423