常用数学公式大全PDF电子书下载

(3)分配律 1

(1)虚单位乘方 1

1.1.3. 复数 1

1.1.2. 实数的绝对值 1

第一章 初等数学 1

(2)结合律 1

(1)交换律 1

1.1.1. 数的基本运算 1

1.1. 初等代数 1

(2)虚单位开方 2

(3)复数的运算 2

1.1.4. 乘法及因式分解 3

1.1.5. 比例 4

1.1.6. 分式 5

(1)基本性质 5

(2)分式运算 5

(3)分项分式 5

1.1.7. 不等式 6

(1)指数、根式 8

1.1.8. 指数、根式、对数 8

(2)对数 9

1.1.9. 多项式展开与多项式除法 9

(1)多项式展开 9

(2)多项式除法 9

(1)等差数列 10

(2)等比数列 10

1.1.10. 数列 10

(3)某些数列的前n项和 11

1.1.11. 阶乘、排列、组合、二项式定理 12

(1)阶乘 12

(2)排列 13

(3)组合 13

(4)二项式定理 14

(5)多项式公式 14

1.1.12. 一次方程组 15

(3)一元三次方程 16

(2)一元二次方程 16

1.1.13. 线性方程 16

(1)一次方程 16

(4)一元四次方程 18

1.2. 初等几何 18

1.2.1. 任意三角形 18

(1)面积 18

(2)外接圆半径 18

(2)平行四边形 19

(4)梯形 19

(3)菱形 19

1.2.2. 四边形 19

(1)矩形 19

(3)内切圆半径 19

(5)任意四边形 20

1.2.3. 正多边形 20

(1)正三角形 20

(5)正n边形 21

(4)正六边形 21

(2)正方形 21

(3)正五边形 21

1.2.4. 圆 22

(1)圆周长 22

(2)圆弧长 22

(3)圆面积 22

(4)扇形面积 22

(5)弓形 22

(1)圆柱 23

(2)圆锥 23

1.2.5. 旋转体 23

(6)环形面积 23

(3)圆台 24

(4)球 24

(5)球缺(球冠) 24

(6)球台 24

(7)球扇形 24

(6)棱锥 25

(5)正棱锥 25

(4)斜棱柱 25

(2)长方体 25

(1)正方体 25

1.2.6. 棱柱、棱锥 25

(3)直棱柱 25

(7)棱台 26

1.3. 平面三角 26

1.3.1. 基本关系 26

(1)基本关系 26

1.3.2. 和角、倍角、半角的三角公式 26

(1)和角公式 26

(2)各三角函数用某一个三角函数表示 27

(2)倍角公式 28

(3)半角公式 29

1.3.3. 和差与积关系公式 30

1.3.4. 反三角函数的公式 33

(3)射影定理 34

(5)半角定理 34

(4)正切定理 34

(1)正弦定理 34

1.3.5. 斜三角形的边角关系 34

(2)余弦定理 34

1.3.6. 三角方程的解 36

1.4 球面三角 36

1.4.1. 球面三角形基本性质 36

1.4.2. 球面三角形的边角关系 36

(1)正弦定理 36

(5)角的正弦与相邻边余弦的乘积定理 37

(6)余切定理 37

(3)角的余弦定理 37

(4)边的正弦与其邻角余弦的乘积定理 37

(2)边的余弦定理 37

1.4.3. 解球面直角三角形的公式 38

1.4.4. 解球面斜三角形的公式 38

(1)半角函数公式 38

(2)半边函数公式 39

(3)二角和、差之半的正弦公式 40

(4)二角(边)和、差之半的正切公式 40

(1)角超 41

(5)正切定理 41

1.4.5. 球面三角形的角超与面积 41

(2)球面三角形的面积 42

(2)旋转 43

(5)直角坐标(x1,y1)与斜角坐标(x2，y2)的关系 43

(3)平移同时旋转 43

(4)直角坐标与极坐标的关系 43

(1)平移 43

2.1.1. 坐标变换 43

2.1. 平面解析几何 43

第二章 解析几何 43

(6)斜角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的关系 44

2.1.2. 三个基本公式 44

(1)两点距离 44

(2)定比分点 44

(3)三角形及多边形面积 45

2.1.3. 直线 45

(1)直线的斜率 45

(2)直线方程 46

(3)点线距离 47

(4)两平行直线间的距离 47

(5)两直线间的关系 48

(6)三点共线与三线共点 48

2.1.4. 圆锥曲线 49

(1)圆 49

(2)椭圆 50

(3)双曲线 52

(4)抛物线(P>0) 53

2.1.5. 一般二次方程的图形 56

(1)二次曲线的分类 56

(2)二次曲线的切线与法线 57

2.1.6. 重要平面曲线方程 57

(1)立方抛物线 57

(2)半立方抛物线 57

(3)抛物线x？+y？=a？ 57

(8)环索线 58

(7)蔓叶线 58

(9)摆线 58

(4)箕舌线 58

(5)叶形线 58

(6)双纽线 58

(10)内摆线 59

(11)外摆线 60

(12)心脏线 60

(13)星形线 60

(14)悬链线 60

(15)概率曲线 61

(16)圆的渐开线 61

(17)曳物线 61

(18)阿基米得螺线 62

(19)等角螺线(对数螺线) 62

(20)三叶玫瑰线 62

(22)ρ=αsin？ 62

2.2.1. 空间直角坐标变换 63

(2)旋转 63

(1)平移 63

2.2. 空间解析几何 63

(21)四叶玫瑰线 63

(3)平移同时旋转 64

(4)空间直角坐标(x，y，z，)与柱坐标(ρ，φ，z＇，)的关系 64

(5)空间直角坐标(x，y,z)与球坐标(ρ，θ，φ)的关系 64

(6)球坐标(ρ，θ，φ)与柱坐标(ρ＇，φ1＇，z＇)的关系 64

(4)法线式 65

(3)截距式 65

(2)点法式 65

(1)一般式 65

2.2.3. 平面方程 65

2.2.2. 射影定理 65

(5)三点式 66

(6)过两点F1=(x1,y1,z1,)，F2=(x2,y2,z2)，且平行于向量？=(a,b,c) 66

(7)过点F0=(x0,y0,z0)，且平行两个向量？1=(a1,b1,c1)，？2=(a2,b2,c2) 66

(8)参数式 66

(5)两点式 67

(4)射影式 67

(3)对称式 67

(2)参数式 67

2.2.4. 空间直线方程 67

(1)交面式 67

2.2.5. 点、直线、平面间的距离、位置关系 68

(1)距离 68

(2)交角α 69

(3)平行、垂直、重合的条件 70

(4)其他 71

2.2.6. 空间三角形面积和四面体体积公式 71

(1)三角形面积 71

(2)四面体体积 72

(3)平行六面体体积 72

(4)双叶双曲面方程 73

(7)椭圆柱面方程 73

(5)椭圆抛物面方程 73

(6)双曲抛物面方程 73

(2)椭球面方程 73

(1)球面方程 73

2.2.7. 重要的曲面方程 73

(3)单叶双曲面方程 73

(8)双曲柱面方程 74

(9)抛物柱面方程 74

(10)圆环面方程 74

(11)一般旋转面方程 74

(12)锥面方程 74

(2)参数方程 75

(3)圆柱螺线 75

(13)螺面方程 75

(1)一般方程 75

2.2.8. 空间曲线方程 75

(4)圆锥螺线 76

第三章 线性代数 77

3.1. 行列式与矩阵、n维向量 77

3.1.1. 行列式的计算与性质 77

(1)二阶行列式 77

(2)三阶行列式 77

(3)高阶行列式 79

(5)行列式的变阶 80

(4)两个行列式相乘 80

(6)三角形行列式 81

(7)范德蒙行列式 81

(8)倒数对称行列式 81

(9)带形行列式 81

3.1.2. 矩阵与n维向量的运算 82

(1)矩阵与n维向量 82

(4)数乘运算 83

(5)乘法运算 83

(2)矩阵、向量的相等 83

(3)加减运算 83

(6)零矩阵与零向量、零因子 84

(7)负矩阵与负向量 85

(8)单位矩阵与单位向量 85

(9)逆矩阵 85

(12)矩阵函数与向量函数的微积分 86

(11)共轭矩阵 86

(10)转置矩阵 86

(13)向量的线性关系 87

(14)矩阵的秩 88

(15)n维向量空间 88

3.1.3. 某些特殊矩阵 88

(1)对角矩阵 88

(2)三角形矩阵 89

(4)对称矩阵 90

(3)带形矩阵 90

(5)实对称矩阵 91

(6)正定矩阵的逆矩阵 91

(7)反对称矩阵 92

(8)埃尔米特矩阵 93

(9)反埃尔米特矩阵 93

(10)正交矩阵 93

(11)酉矩阵 94

(12)分块矩阵 94

(13)分块对角矩阵 95

(1)初等变换 96

(2)相似变换 96

3.1.4. 矩阵的变换 96

(3)正交变换 97

(4)旋转变换 97

(5)用初等变换求逆矩阵 98

3.2. 特征理论与若当标准形 99

3.2.1. 特征值与特征向量 99

(1)特征概念 99

(2)特征值与特征向量的性质 99

(3)矩阵多项式与最小多项式 100

(4)哈密顿-凯莱定理 101

(5)最小多项式与特征多项式的关系 101

3.2.2. 方阵的若当标准形 101

(1)λ矩阵 101

(3)λ矩阵的标准形 102

(4)若当标准形 102

(2)λ矩阵的等价 102

(5)特征矩阵 103

(6)方阵的标准化 103

3.3. 二次型与线性方程组 104

3.3.1. 二次型与埃尔米特型(H型) 104

(1)二次型与埃尔米特型(H型) 104

(2)二次型与H型为正定的判定 105

(3)线性变换 106

(4)二次型化为标准型 106

(5)H型化为标准型 107

(6)两个二次型或H型的联立简化 108

3.3.2. 线性方程组 109

(1)线性方程组的一般形式 109

(2)线性方程组解的判定 109

(3)线性方程组解的结构 110

(4)n个未知数n个方程的线性方程组的解法 110

3.4. 矩阵分析 112

3.4.1. 矩阵的极限 112

(1)矩阵序列的极限 112

(2)隐式差分格式 114

(2)纯变量的矩阵值函数的极限 114

(2)判别连续的充要条件 115

3.4.2. 纯变量的矩阵值函数的连续性 115

(1)定义 115

(3)矩阵导数的运算法则 116

3.4.3. 矩阵的导数 116

(2)导数存在的充要条件 116

(1)定义 116

3.4.4. 矩阵的积分 117

(1)定义 117

(2)矩阵积分的简单性质 118

3.4.5. 矩阵级数 118

(1)矩阵级数的概念 118

(2)矩阵级数收敛的充要条件 119

(3)收敛的矩阵级数的运算法则 120

(4)矩阵级数的绝对收敛 120

(5)方阵的幂级数 121

3.4.6. 矩阵函数 124

(1)常用的由方阵幂级数定义的矩阵函数 124

(2)矩阵函数的求法 125

(2)常见的五种广义逆矩阵 127

(1)定义 127

3.5.2. 常见几种广义逆矩阵的通式 127

3.5.1. 广义逆矩阵及其分类 127

3.5. 广义逆矩阵 127

(1)A-的性质 128

(2)A+的性质 128

3.5.3. 减号逆A-与加号逆A+的性质 128

3.5.4. A+的求法 129

(1)求法一 129

(2)求法二 129

第四章 微分学 130

4.1.1. 基本初等函数 130

(1)幂函数 130

4.1. 函数与极限 130

(2)指数函数 131

(3)对数函数 131

(4)三角函数 131

(5)反三角函数 132

(6)代数函数 135

(7)双曲函数 136

(8)双曲函数的相互关系式 137

(9)双曲函数的基本公式 137

(10)反双曲函数 138

(11)反双曲函数的基本公式 140

(12)反曲函数与三角函数、反双曲函数与反三角函数的关系 140

4.1.2. 数列与函数的极限 140

(1)数列的极限 140

(2)聚点 141

(3)上(下)极限 141

(4)数列极限的存在准则 141

(6)一些重要的数列极限 142

(5)数列极限的基本公式 142

(7)函数的极限 143

(8)单侧极限 144

(9)函数极限的存在准则 144

(10)函数极限的基本公式 144

(11)一些重要的函数极限 145

(13)无穷小量阶的公式 146

(14)等价无穷小代换定理 146

(15)无穷小量与无穷大量的关系 146

(3)函数在区间上连续 147

(2)函数在一点单侧连续 147

(16)曲线的渐近线 147

(1)函数在一点连续 147

4.1.3. 函数的连续性 147

(4)连续函数的性质 148

(5)初等函数的连续性 148

4.1.4. 多重极限与累次极限 148

(1)n重极限 148

(2)累次极限 149

(3)二重极限与二次极限的关系 149

(4)多元函数的连续性 150

4.2. 微分 150

4.2.1. 导数与微分 150

(1)导数 150

(2)单侧导数 150

(3)导函数 150

(4)微分 151

(5)导数与微分法则 151

(6)导数与微分的基本公式 153

(7)高阶导数与高阶微分法则 154

(8)高阶导数与高阶微分的基本公式 155

(3)柯西中值定理 157

4.2.2. 微分学的基本定理 157

(1)罗尔定理 157

(2)拉格朗日中值定理 157

(4)泰勒公式 158

(5)洛必达法则 160

4.2.3. 多元函数的微分学 160

(1)偏导数 160

(2)偏微分 161

(3)全微分 161

(4)偏导数与全微分的关系 162

(5)链式法则 162

(6)全导数 163

(7)隐函数的微分法 163

(8)齐次函数偏导数的欧拉公式 163

(11)高阶偏导数的莱布尼兹公式 164

(9)高阶偏导数 164

(10)混合偏导数的许瓦兹定理 164

(13)泰勒公式 165

(12)高阶全微分 165

(14)雅可比行列式 167

(15)隐函数组的微分法 169

(16)变量变换中的微分法 170

4.2.4. 导数与微分的应用 172

(1)平面曲线的切线与法线 173

(2)平面曲线的夹角 174

(3)空间曲线的活动标架 174

(4)弧微分 176

(5)平面曲线的曲率 176

(6)空间曲线的曲率与挠率 176

(7)雪列-弗雷纳公式 179

(8)曲面的切面与法线 179

(9)曲面元 180

(12)函数的极值 181

(14)极值的充分条件 181

(13)极值的必要条件 181

(11)单调性定理 181

(10)函数的单调性 181

(15)条件极值 183

(16)函数的凸性 184

(17)凸性定理 184

(18)函数的拐点 185

(19)拐点的判定 185

(20)函数相关与函数独立 185

(21)函数相关与函数独立的判定 185

第五章 积分学 187

5.1. 不定积分 187

5.1.1. 不定积分的性质 187

(1)不定积分的性质 187

(2)不定积分的基本公式 187

5.1.2. 不定积分法则 189

(1)第一换元法(配微分法) 189

(2)第二换元法 190

5.1.3. 有限形式的积分 192

(1)部分分式展开 192

(3)分部积分法 192

(2)有理函数的积分 194

(3)无理函数的积分 195

(4)三角函数的积分 198

(5)超越函数的积分 199

5.1.4. 不定积分表 200

(1)含αχ+b的有理式的积分 200

(2)含？的积分 203

(3)含ax2±c的有理式的积分 208

(4)含？的积分 210

(5)含ax2+bx+c的有理式的积分 213

(6)含？的积分 215

(7)含axn+c的积分 218

(8)含sinαx或cosαx的积分 219

(9)含sinαx和cosαx的积分 223

(10)含tgαx，ctgαx，secαx，cscαx的积分 227

(11)含xn，sinαx或cosαx的积分 229

(12)含eαx，x?，sinαx，cosαx的积分 231

(13)含lnαx和x?的积分 234

(14)含反三角函数的积分 235

(2)定积分的性质 237

5.2. 定积分 237

5.2.1. 定积分及其性质 237

(1)牛顿-莱布尼兹公式 237

5.2.2. 定积分法则 239

(1)换元积分法 239

(3)积分不等式 239

(2)分部积分法 240

(3)奇偶函数的积分 240

5.2.3. 定积分表 240

5.2.4. 定积分的应用 242

(1)平面图形的面积 242

(2)旋转曲面的侧面积 243

(3)平面曲线的弧长 243

(4)立体体积 244

(5)平面图形的几何重心 245

(8)变力作功 246

(7)流体压力 246

(6)平面图形的转动惯量 246

(2)柯西主值 247

(3)收敛判别法 247

5.3.1. 无穷限广义积分 247

(1)收敛与发散 247

5.3. 广义积分 247

5.3.2. 无界函数的广义积分 249

(1)瑕点 249

(2)收敛与发散 250

(4)收敛判别法 250

(3)柯西主值 250

5.3.3. 广义积分法则 252

(1)牛顿-莱布尼兹公式 252

(2)分项积分法 252

(3)换元积分法 252

(4)分部积分法 252

5.3.4. 广义积分表 252

(1)连续性 259

(2)对参数求导 259

5.4.1. 含参数常义积分 259

5.4. 含参数积分 259

(2)一致收敛判别法 260

5.4.2. 含参数广义积分 260

(3)对参数积分 260

(1)一致收敛性 260

(3)连续性 262

(4)对参数求导 262

(5)对参数积分 262

5.5. 斯蒂吉斯积分 263

5.5.1. 斯帝吉斯积分及其性质 263

(2)斯蒂吉斯积分的性质 263

(1)斯蒂吉斯积分 263

5.5.2. 积分法则 265

(1)分部积分法 265

(2)化为定积分 265

5.6. 多元函数的积分 266

5.6.1. 重积分 266

(1)二重积分 266

(2)二重积分的计算公式 267

(3)二重积分的变量变换 268

(4)极坐标下的二重积分 269

(5)三重积分 269

(6)三重积分的计算 270

(7)三重积分的变量变换 271

(8)圆柱面坐标下的三重积分 272

(9)球面坐标下的三重积分 272

(10)m重积分 273

(11)m重积分的计算 273

(12)m重积分的变量变换 274

(13)极坐标下的m重积分 275

5.6.2. 曲线积分 275

(1)曲线积分 275

(2)曲线积分的性质 276

(3)曲线积分的计算 277

(4)两类曲线积分的联系 278

(5)格林公式 279

(6)平面曲线积分与路径的无关性 279

(7)原函数 280

(8)奇点的循环常数 280

(1)曲面积分 281

5.6.3. 曲面积分 281

(2)曲面积分的性质 282

(3)曲面积分的计算 284

(4)两类曲面积分的联系 285

(5)高斯公式 286

(6)斯托克司公式 286

(2)曲面的面积 287

(1)平面图形的面积 287

5.6.4. 多元函数积分的应用 287

(3)柱面的面积 288

(4)立体体积 288

(5)物体总质量与重心 289

(6)转运惯量 290

(7)变力做功 291

6.1.1. 向量代数 293

(1)向量 293

6.1. 向量 293

第六章 向量与场论初步 293

(2)向量的加减法与数乘 294

(3)线性关系 295

(4)向量乘法 296

6.1.2. 向量分析 299

(1)向量函数定义 299

(2)向量函数的极限与连续性 299

(3)向量函数的导数与微分 300

(5)单位向量的变换 301

(4)向量函数的泰勒公式 301

(6)圆柱同坐标系和球面坐标系的单位向量 303

(7)向量的坐标变换 304

(8)向量的常用坐标变换 305

(9)向量函数的积分 305

6.2. 场论初步 306

6.2.1. 梯度 306

(1)梯度 306

(2)方向导数 306

(2)旋度 307

(1)散度 307

(4)梯度的性质 307

(3)耐普拉算子 307

6.2.2. 散度与旋度 307

(3)散度与旋度的性质 308

(4)耐普拉算子的性质 308

(5)二阶微分运算 308

(6)梯度、散度、旋度在圆柱面坐标系和球面坐标系下的表达式 308

6.2.3. 向量场的积分与体积导数 310

(1)向量场的曲线积分 310

(2)环量与势场 310

(4)场的曲面积分(通量) 311

(3)曲线积分与势函数 311

(5)体积导数 312

(6)积分定理 313

第七章 级数 315

7.1. 数项级数 315

7.1.1. 级数的敛散性 315

(1)级数的敛散性定义 315

(2)级数的性质 316

(3)比较判别法 317

7.1.2. 正项级数的判敛法 317

(2)基本判别法 317

(1)正项级数 317

(4)柯西判别法 318

(5)达朗贝尔判别法 319

(6)拉阿伯判别法 319

(7)高斯判别法 320

(8)柯西积分判别法 320

(9)对数判别法 321

7.1.3. 变号级数的判敛法 321

(1)柯西判别法 321

(2)达朗贝尔判别法 321

(3)阿贝尔判别法 321

(4)狄里克莱判别法 322

(5)莱布尼兹判别法 322

(6)某些数项级数的和 322

(1)函数项级数 324

7.2.1. 一致收敛性 324

7.2. 函数项级数 324

(1)柯西准则 325

(2)收敛与一致收敛 325

7.2.2. 一致收敛判别法 325

(3)阿贝尔判别法 326

(4)狄里克莱判别法 326

(2)外尔斯特拉斯判别法 326

(5)狄尼判别法 327

7.2.3. 一致收敛的函数项级数的性质 327

(1)和函数的连续性 327

(2)逐项微分 327

(3)逐项积分 327

7.3. 幂级数 328

7.3.1. 收敛半径 328

(1)幂级数 328

(2)收敛半径 328

(3)柯西-阿达玛公式 328

(1)逐项取极限 329

7.3.2. 幂级数的运算 329

(4)阿贝尔定理 329

(2)逐项微分 330

(3)逐项积分 330

7.3.3. 函数的幂级数展开式 331

(1)泰勒级数与马克劳林级数 331

(2)函数展开成幂级数 331

(3)常用初等函数的幂级数展开式 331

(4)某些初等函数的幂级数展开式 336

7.4. 傅里叶级数 338

(1)欧拉-傅里叶公式 338

(2)傅里叶级数 338

7.4.1. 傅里叶级数及其性质 338

(3)傅里叶系数的性质 339

(4)傅里叶级数的部分和 340

(5)傅里叶级数的逐项微分与逐项积分 341

7.4.2. 傅里叶级数收敛性的判别 342

(1)狄尼判别法 342

(2)李普希兹判别法 342

(3)狄里克莱-若当判别法 343

(4)吉布斯现象 343

(1)周期为2π的函数展开式 344

7.4.3. 函数的傅里叶级数展开式 344

(2)周期为2l的函数展开式 345

(3)在任意闭区间上给定的函数展开式 346

(4)某些常用函数的傅里叶级数展开式 347

(5)某些分段函数的傅里叶级数展开式 355

7.4.4. 二重傅里叶级数 361

(1)无穷乘积 363

7.5.1. 无穷乘积的敛散性 363

7.5. 无穷乘积 363

(2)收敛判别法 364

(3)绝对收敛 365

7.5.2. 函数项无穷乘积 365

(1)一致收敛 365

(2)一致收敛的判别法 366

(3)某些函数的无穷乘积展开式 366

(3)连续复变函数的性质 368

(2)复变函数的连续性 368

8.1. 复变函数的导数与积分 368

(1)复变函数的极限 368

8.1.1. 复变函数的极限与连续性 368

第八章 复变函数 368

8.1.2. 复变函数的导数 369

8.1.3. 复变函数的积分 369

(1)复变函数的积分 369

(2)复变函数积分的性质 370

(3)复变函数积分的计算 370

8.2. 解析函数 371

8.2.1. 柯西-黎曼方程 371

(1)解析函数 371

(2)柯西-黎曼方程 371

(3)形式导数 372

8.2.2. 调和函数 372

(1)调和函数与共轭调和函数 372

(1)指数函数 373

8.2.3. 初等解析函数 373

(2)解析函数与调和函数 373

(2)对数函数 374

(3)幂函数 375

(4)三角函数 375

(5)反三角函数 376

(6)双曲函数 377

(7)反双曲函数 378

(8)双曲函数与三角函数的关系 378

(2)不定积分与原函数 379

(1)柯西积分定理 379

8.2.4. 解析函数的积分性质 379

(3)柯西积分公式 380

(4)柯西型积分 381

(5)莫累拉定理 382

(6)平均值定理 382

(7)最大模原理 382

(8)柯西不等式 382

(1)保角映射 383

8.3.1. 保角映射 383

8.3. 保角映射与分式线性变换 383

(9)刘维尔定理 383

(10)调和函数的泊松公式 383

(2)保角映射的判别 384

(3)保角映射的性质 384

8.3.2. 分式线性变换 384

(1)分式线性变换 384

(2)简单分式线性变换 385

(3)几种典型的分式线性变换 385

(4)分式线性变换的性质 386

(5)分式线性变换的分类 387

8.4.1. 泰勒级数 388

(1)柯西-阿达玛定理 388

(2)阿贝尔定理 388

8.4. 解析函数的级数展开 388

(3)幂级数的运算 389

(4)泰勒级数展开定理 389

(7)解析函数的唯一性定理 390

(6)解析函数的零点 390

(5)解析函数的四个等价定义 390

(1)罗朗级数的展开定理 391

(2)罗朗级数展开式的唯一性 391

(3)孤立奇点 391

8.4.2. 罗朗级数与孤立奇点 391

(4)解析函数在无穷远点的性质 392

(5)某些函数的罗朗级数 393

(6)半纯函数的部分分式表达式 398

(2)留数基本定理 399

(3)孤立奇点的留数 399

(1)留数 399

8.5.1. 留数基本定理及其应用 399

8.5. 留数 399

(4)无穷远点的留数 401

(5)幅角原理 402

(6)儒歇定理 402

8.5.2. 用留数计算定积分(围道积分) 402

(1)用留数计算定积分的主要步骤 402

(4)？e?mxf(x)dx型积分的计算 403

(2)几个引理 403

(3)？f(x)dx型积分的计算 403

(5)？e?mxf(x)dx型积分的柯西主值 404

第九章 积分变换 405

9.1. 拉普拉斯变换 405

9.1.1. 拉普拉斯变换及其反演公式 405

(1)拉普拉斯变换 405

(2)反演公式 405

(3)用留数求像原函数 405

9.1.2. 拉普拉斯变换的性质及主要公式 406

(1)拉普拉斯变换的性质 406

(2)拉普拉斯变换的主要公式 406

9.1.3. 拉普拉斯变换表 408

(1)由f(t)查l(s)=？［f(t)］ 408

(2)由l(s)查f(t)=？-1［l(s)］ 421

(3)傅里叶余弦变换及其反演公式 428

(2)反演公式 428

9.2.1. 傅里叶变换及其反演公式 428

9.2. 傅里叶变换 428

(1)傅里叶变换 428

(2)傅里叶变换的主要公式 429

9.2.2. 傅里叶变换的性质及主要公式 429

(4)傅里叶正弦变换及其反演公式 429

(1)傅里叶变换的性质 429

(4)傅里叶正弦变换的性质 430

9.2.3. 傅里叶变换表 430

(1)由f(x)查F(ξ)=？［f(x)］ 430

(3)傅里叶余弦变换的性质 430

(2)由f(x)查Fc(ξ)=？［f(x)］ 437

(3)由f(x)查Fs(ξ)=？［f(x)］ 438

(1)Г-函数的几种不同定义 441

10.1.1. Г-函数(伽马函数) 441

10.1. 由积分确定的特殊函数 441

第十章 特殊函数 441

(2)可化为Г-函数的积分 442

(3)Г-函数的公式 443

10.1.2. 不完全伽马函数 445

(1)不完全伽马函数的几种不同定义 445

(2)不完全伽马函数的公式 445

(2)可化为B-函数的积分 447

(1)B-函数的几种不同定义 447

10.1.3. B-函数(贝塔函数) 447

(3)B-函数的公式 448

10.1.4. ψ-函数(普塞函数) 449

(1)ψ-函数的几种不同定义 449

(2)可化为ψ-函数的积分 450

(3)ψ-函数的公式 450

10.1.5. 误差函数(概率积分) 452

(1)误差函数的定义 452

(2)误差函数的公式 452

10.1.6. 菲涅尔函数 454

(1)菲涅尔函数的定义 454

(2)菲涅尔函数的公式 454

10.1.7. 正弦积分与余弦积分 455

(1)正弦积分与余弦积分的定义 455

(2)正弦积分与余弦积分的公式 455

(2)双曲正弦积分与双曲余弦积分的公式 457

(1)双曲正弦积分与双曲余弦积分的定义 457

10.1.8. 双曲正弦积分与双曲余弦积分 457

(2)指数积分的公式 458

10.1.9. 指数积分 458

(1)指数积分的定义 458

10.1.10. 对数积分 459

(1)对数积分的定义 459

(2)对数积分的公式 459

10.1.11. 勒让德椭圆积分 460

(1)勒让德椭圆积分的定义 460

(2)可化为勒让德椭圆积分的积分 460

(3)勒让德椭圆积分的公式 463

10.1.12. 完全椭圆积分 465

(1)完全椭圆积分的定义 465

(2)完全椭圆积分的公式 466

10.2 椭圆函数 467

10.2.1. 椭圆函数 467

(1)椭圆函数的定义 467

(2)椭圆函数的性质 468

10.2.2. 雅可比椭圆函数 469

(1)雅可比椭圆函数的定义 469

(2)雅可比椭圆函数在特殊点的值 470

(3)雅可比椭圆函数的公式 470

10.2.3. 外尔斯特拉斯椭圆函数 477

(1)外尔斯特拉斯椭圆函数的定义 477

(2)外尔斯特拉斯椭圆函数的公式 477

10.3. 由微分方程确定的特殊函数 479

10.3.1. 库默尔函数(合流超几何级数) 479

(1)超几何级数 479

(2)库默尔函数的定义 479

(3)库默尔函数的公式 480

10.3.2. 惠泰克函数 483

(1)惠泰克函数的定义 483

(2)惠泰克函数的公式 484

(3)可以用惠泰克函数表示的特殊函数 485

10.3.3. 抛物线柱函数 485

(1)抛物线柱函数的定义 485

(2)抛物线柱函数的公式 486

(1)埃尔米特函数与埃尔米特多项式的定义 488

10.3.4. 埃尔米特函数与埃尔米特多项式 488

(2)埃尔米特函数和埃尔米特多项式的公式 489

(2)一般拉盖尔多项式与拉盖尔多项式的公式 493

10.3.5. 拉盖尔多项式 493

(1)一般拉盖尔多项式与拉盖尔多项式的定义 493

10.3.6. 超几何函数 498

(1)超几何函数的定义 498

(2)超几何函数的公式 498

(3)可以用超几何函数表示的初等函数 504

(4)可以用超几何函数表示的某些特殊函数的拉普拉斯变换 504

10.3.7. 勒让德函数与勒让德多项式 505

(1)勒让德函数与勒让德多项式的定义 505

(2)一般勒让德函数的公式 506

(3)第一、二类勒让德函数的公式 512

(4)勒让德多项式及Qn(z)的公式 514

10.3.8. 盖根堡多项式 517

(1)盖根堡多项式的定义 517

(2)盖根堡多项式的公式 517

(1)切比雪夫多项式的定义 520

(2)切比雪夫多项式的公式 520

10.3.9. 切比雪夫多项式 520

10.3.10. 雅可比多项式 522

(1)雅可比多项式的定义 522

(2)雅可比多项式的公式 522

10.3.11. 贝塞尔函数 524

(1)贝塞尔函数的定义 524

(2)贝塞尔函数的公式 524

(3)贝塞尔函数与某些特殊函数的关系式 542

(4)变型贝塞尔函数的定义 544

(5)变型贝塞尔函数的公式 545

10.4. 用函数的展开式定义的特殊函数 550

10.4.1. 贝努里多项式与贝努里数 550

(1)贝努里多项式与贝努里数的定义 550

(2)贝努里多项式与贝努里数的公式 551

10.4.2. 欧拉多项式与欧拉数 552

(1)欧拉多项式与欧拉数的定义 552

(2)欧拉多项式与欧拉数的公式 553

(2)柯西存在定理 555

11.1. 一阶微分方程 555

第十一章 常微分方程 555

(1)一阶微分方程的形式 555

11.1.1. 解的存在唯一性 555

(3)存在唯一性定理 556

11.1.2. 可积类型 556

(1)变量分离型方程 556

(2)可化为变量分离型方程 557

(3)齐次方程 557

(4)可化为齐次型方程 558

(5)线性方程 558

(6)贝努里方程 559

(7)黎卡提方程 559

(8)第一类阿贝尔方程 561

(9)第二类阿贝尔方程 562

(10)恰当(全微分)方程 563

(11)积分因子 563

(12)一阶隐式微分方程 566

(1)奇解 568

(13)拉格朗日方程 568

(14)克莱罗方程 568

11.1.3. 奇解 568

(2)奇解的求法 569

11.2. 高阶微分方程 569

11.2.1. 一般高阶微分方程 569

(1)高阶微分方程的形式 569

(2)存在唯一性定理 570

(3)降阶法 570

(4)n阶方程的可积类型 572

11.2.2. 高阶变系数线性微分方程 574

(1)高阶齐次线性微分方程的解的性质与结构 574

(2)刘维尔公式 575

(3)齐次线性方程的幂级数解法 576

(4)高阶非齐次线性微分方程的解的性质与结构 576

(5)高阶非齐次线性微分方程求解的常数变易法 577

(1)常系数齐次线性微分方程的特征方程 578

(6)常数变易公式 578

11.2.3. 高阶常系数线性微分方程 578

(2)常系数齐次线性微分方程的解 579

(3)常系数非齐次线性微分方程的比较系数解法 580

(4)简易比较系数法 581

(5)微分算子与逆微分算子 582

(6)常系数非齐次线性微分方程的算子解法 584

(7)常系数非齐次线性微分方程的拉普拉斯变换解法 585

11.2.4. 欧拉方程 587

(2)齐次欧拉方程的解法 587

(1)欧拉方程 587

(3)非齐次欧拉方程的解法 588

11.3. 一阶线性微分方程组 589

11.3.1. 一阶变系数线性微分方程组 589

(1)一阶线性微分方程组及其向量表示 589

(2)高阶线性微分方程化为一阶线性微分方程组 589

(3)一阶齐次线性微分方程组的基解矩阵 590

(4)一阶齐次线性微分方程组的解的性质与结构 590

(6)一阶非齐次线性微分方程组的解的性质与结构 591

(5)刘维尔公式 591

(7)一阶非齐次线性微分方程组求解的常数变易公式 592

11.3.2. 一阶常系数线性微分方程组 592

(1)一阶常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 592

(2)基解矩阵eAx的计算 593

(3)一阶常系数齐次线性微分方程组的解 594

(4)一阶常系数非齐次线性微分方程组的解 595

(2)最速降线问题 596

(1)泛函的变分 596

11.4.1. 泛函的极值 596

11.4. 变分法 596

(3)泛函的极值 597

11.4.2. 积分型泛函的极值与欧拉方程 597

(1)？F(x,y(x),y′(x)dx型 597

(2)？F(x,y1(x),y2(x),……yn(x),y′1(x),y′2(x),…yn′(x)dx型 599

(3)？F(x,y(x),y′(x),…y(n)(x))dx型 600

(4)多重积分型 602

(3)拉格朗日乘数法 603

(2)？F(x,y(x),z(x),y′(x),z′(x))dx的条件极值 603

11.4.3. 条件极值 603

(1)等周问题 603

第十二章 偏微分方程 605

12.1.1. 通解、完全解、奇解与解析解 605

(1)一阶偏微分方程和方程组 605

(2)通解、完全解与奇异解 605

12.1. 一阶偏微分方程 605

(3)通解与完全解、奇异解的关系 606

(4)柯西-柯娃列芙斯卡娅定理 607

(1)一阶齐次线性偏微分方程的特征方程 608

12.1.2. 一阶线性和拟线性偏微分方程 608

(2)一阶齐次线性偏微分方程的解与通解 609

(3)一阶齐次线性偏微分方程柯西问题的解 610

(4)一阶非齐次线性偏微分方程与拟线性方程的解 610

(5)一阶拟线性偏微分方程柯西问题的解 612

12.1.3. 一阶非线性偏微分方程 612

(1)一阶非线性偏微分方程的特征方程 612

(2)求完全解的拉格朗日-卡比方法 614

(3)两个自变量的某些一阶非线性偏微分方程的解 614

(4)n个自变量的某些一阶非线性偏微分方程的解法 619

(5)克莱罗方程 621

(6)波发夫方程 622

12.1.4. 一阶线性偏微分方程组 624

(1)一阶线性偏微分方程组的特征方向及分类 624

(2)狭义双曲型方程组与双曲型方程组 624

(3)狭义双曲型方程组的柯西问题 625

12.2. 二阶半线性偏微分方程 626

12.2.1. 二阶半线性偏微分方程的分类与标准型 626

(1)二阶半线性偏微分方程的特征方程 626

(2)二阶常系数线性偏微分方程的分类与标准型 627

(3)二阶半线性偏微分方程的分类与标准型 629

(4)两个自变量的二阶半线性偏微分方程的分类与标准型 630

12.2.2. 二阶线性偏微分算子与基本解 631

(1)二阶线性微分算子 631

(2)格林公式 632

(3)基本解 633

(4)柯西问题的基本解 634

(1)波动方程及其基本解 635

12.3.1. 波动方程 635

12.3. 三种经典方程及其定解问题 635

(2)齐次波动方程的柯西问题及其解公式、降维法 636

(3)非齐次波动方程的柯西问题及其解公式 639

(4)古尔沙问题的特征线方法 641

(5)广义柯西问题的黎曼方法 641

(6)一维齐次波动方程柯西问题求解的积分变换法 644

(7)一维齐次波动方程混合问题的解、分离变量法 645

(8)一维非齐次波动方程混合问题的解 652

(9)可用分离变量法求解的某些高维波动方程的混合问题 654

(1)热传导方程及其基本解 658

12.3.2. 热传导方程 658

(2)齐次热传导方程的柯西问题及其解公式 659

(3)齐次热传导方程柯西问题的基本解 659

(4)非齐次热传导方程的柯西问题及其解公式 659

(5)一维热传导方程柯西问题求解的积分变换法 660

(6)一维热传导方程混合问题求解的积分变换法 661

(7)一维热传导方程混合问题求解的分离变量法 663

(1)拉普拉斯方程及其基本解 664

12.3.3. 拉普拉斯方程 664

(3)内、外边值问题 665

(2)拉普拉斯方程的定解问题 665

(4)狄里克莱问题的解公式 666

(5)诺伊曼问题的解公式 666

(6)圆或球的狄里克莱问题的解(泊松积分) 667

(7)调和函数的性质 668

(8)泊松方程的边值问题 669

(9)狄里克莱问题求解的格林函数法 669

(10)狄里克莱问题求解的分离变量法 671

13.1. 弗雷德霍姆方程 673

13.1.1. 弗雷德霍姆定理 673

(1)弗雷德霍姆方程 673

(2)弗雷德霍姆定理 673

第十三章 积分方程 673

(3)诺伊曼级数解、预解核 674

(4)弗雷德霍姆分母 676

(2)具有退化核的弗雷德霍姆方程的解 677

(1)退化核 677

13.1.2. 退化核的情形 677

13.1.3. 几类非退化核的情形 680

(1)对称核 680

(2)非对称核 681

(3)埃尔米特核 681

(4)反对称核 682

(5)伴随核、自伴随核 683

13.2. 沃尔泰方程 683

(1)沃尔泰方程 683

(2)第二类沃尔泰方程的幂级数解、预解核 684

(3)特殊核K(x-ξ) 685

13.3. 奇异积分方程 686

(1)几类含无穷限积分的奇异积分方程 686

(2)几类含无界函数积分的奇异积分方程 687

(2)事件的运算关系 690

(1)事件 690

14.1. 概率 690

第十四章 概率论 690

14.1.1. 事件、事件的运算关系 690

14.1.2. 概率的几种定义 691

(1)概率的古典定义 691

(2)概率的统计定义 691

(3)几何概率 691

(4)概率的数学定义 692

(1)条件概率 693

14.1.4.条件概率与独立性定义 693

14.1.3. 概率的基本性质 693

(2)独立性定义 694

14.1.5. 概率的计算公式 694

(1)乘法公式 694

(2)全概率公式 694

(3)贝叶斯公式 695

(4)贝努里公式 695

(3)分布函数F(x)的性质 696

(2)分布函数 696

(4)离散型随机变量及其概率分布 696

14.2. 随机变量及其分布 696

(1)随机变量 696

14.2.1. 随机的变量与分布函数 696

(5)几种常见的离散型随机变量及其分布 698

(6)连续型随机变量与分布密度函数 699

(7)几种常见的连续型分布 699

(8)随机变量函数的分布 701

14.2.2. 常用分布表 701

(2)n维分布 710

(3)n维离散型和连续型随机变量 710

(1)n维随机向量 710

14.2.3. n维随机向量与n维分布 710

(4)n边缘分布函数 711

14.2.4. 随机变量的独立性、条件分布函数 712

(1)随机变量的独立性 712

(2)条件分布函数 713

14.2.5. 随机向量的变换 714

(1)随机变量的线性变换 714

(2)随机变量的平方变换 715

(3)随机向量的一些重要变换 715

(1)数学期望 718

14.2.6. 随机变量的数字特征 718

(2)方差 720

(3)均值与方差的运算公式 721

(4)切比雪夫不等式 722

(5)条件数学期望与全数学期望公式 722

(6)矩 723

14.2.7. 随机向量的数字特征 724

(1)随机向量的数学期望 724

(2)协方差与协方差矩阵 724

(3)常用分布的特征函数 726

(1)离散型随机变量的特征函数 726

(2)连续型随机变量的特征函数 726

14.2.8. 特征函数 726

(4)特征函数的性质 728

(5)随机向量的特征函数 729

14.3. 独立随机变量序列的极限定理 731

14.3.1. 分布函数序列与随机变量序列的收敛性 731

(1)分布函数序列的弱收敛 731

(2)随机变量序列的收敛 731

(2)几个常用的大数定律 732

(1)定义 732

14.3.2. 大数定律 732

14.3.3. 柯尔莫哥洛夫不等式 733

(2)几个常用的强大数定律 734

(1)定义 734

14.3.4. 强大数定律 734

14.3.5. 中心极限定理 735

(1)定义 735

(2)经常应用的中心极限定理 735

14.3.6. 格子点分布、局部极限定理 737

(1)格子点分布 737

(2)局部极限定理 737

(2)样本 739

(3)矩 739

第十五章 数理统计方法 739

(1)总体(母体)和个体 739

15.1.1. 基本概念 739

15.1 总体参数估计 739

(4)к阶中心矩 740

(5)统计中常用的矩 741

(6)常用的统计量 741

(7)抽样分布 743

15.1.2. 样本的数字特征与总体数字特征的对照表 745

15.1.3. 总体参数的点估计 747

(1)参数空间 747

(2)点估计 747

(3)估计方法 747

(4)估计量好坏的判别标准 749

(5)罗-克拉美不等式 749

15.1.4. 总体参数的区间估计 751

(1)随机区间 751

(2)置信区间 751

(3)显著性水平与上、下置信限 751

(4)总体参数的区间估计表 751

(5)二项分布和泊松分布的参数估计 751

(6)均匀分布的参数估计 755

15.2. 统计假设检验 756

15.2.1. 统计假设检验的一般步骤 756

(1)第一类错误 757

(2)第二类错误 757

15.2.3. 正态总体参数的统计假设检验表 757

15.2.2. 假设检验的两类错误 757

15.2.4. 非参数假设检验 759

(1)分布函数的拟合检验 759

(2)皮尔逊y2检验法 759

(3)柯尔莫哥洛夫检验法 764

(4)独立性检验 765

(2)检验步骤 767

15.3. 方差分析 767

(1)问题的提法 767

15.3.1. 单因素方差分析 767

15.3.2. 双因素方差分析 770

(1)问题的提法 770

(2)问题的分解 771

15.3.3. 系统分组的方差分析 771

(2)一元线性回归 777

(1)最小二乘法 777

15.4. 回归分析 777

15.4.1. 一元回归的方差分析 777

(3)一元线性回归的方差分析 780

15.4.2. 抛物线回归 782

15.4.3. 可化成线性回归的曲线回归 782

15.4.4. 二元线性回归 785

(1)回归方程 785

(2)复相关系数与偏相关系数 786

(3)标准回归系数与偏回归平方和 787

15.4.5. 多元线性回归 788

(1)回归方程的求法 788

(4)剩余标准差 788

(6)二元线性回归的计算 788

(5)t值的计算 788

(2)复相关系数 791

(3)剩余标准差 791

(4)多元线性回归的方差分析 791

15.5.2. 单式抽样检验 792

15.5.1. 抽样检验的第一、二类错误 792

(6)t值计算公式 792

(5)标准回归系数与偏回归平方和 792

15.5. 抽样检验方法 792

(1)按质检查 793

(2)按量检查 797

15.5.3. 复式计件抽样检验 798

(1)复式抽样验收方案的具体做法 798

(2)复式抽样验收方案的流程图 799

(1)序贯计件抽样检验的一般做法 800

15.5.4. 序贯计件抽样检验 800

(2)序贯抽样检验的图解表示法 802

(3)序贯抽样检验的表格表示法 803

(3)随机场 805

(6)过程的数字特征 805

(4)复值过程 805

(5)样本函数 805

(1)随机过程的定义 805

16.1.1. 概念 805

16.1. 概述 805

第十六章 随机过程 805

(2)随机过程的相空间 805

(7)可分性 806

(8)随机连续 806

16.1.3. 随机过程的基本类型 807

16.1.2. 有限维分布族与柯尔莫哥洛夫定理 807

(1)按参数集和相空间分类 807

(2)柯尔莫哥洛夫定理 807

(1)有限维分布函数族 807

(2)按概率结构分类 808

16.2. 马尔可夫过程 809

16.2.1. 马尔可夫链 809

(1)转移概率 809

(2)时间与状态都离散的马尔可夫链 809

(3)闭集与状态的分类 810

(4)分解定理 812

(5)遍历性定理 812

(6)时间连续、状态离散的马尔可夫链 813

16.2.2. 纯不连续马尔可夫过程 814

(1)转移概率函数 814

(2)纯不连续马尔可夫过程的定义 815

(3)柯尔莫哥洛夫-费勒微积分方程 815

(2)柯尔莫哥洛夫方程 816

16.2.3. 扩散方程 816

(1)定义 816

(1)二阶矩随机变量所组成的空间 817

16.3. 二阶矩过程和随机分析 817

16.3.1. 预备知识 817

(2)均方极限的性质 818

(1)均方连续 819

16.3.2. 随机分析 819

(2)均方导数 820

(3)均方积分 821

(4)关于正交增量过程的积分 823

(5)随机微分方程 825

16.3.3. 正态过程 825

(2)正态过程的均方微积分 825

(1)定义 825

(3)马尔可夫正态过程 826

(4)平稳正态过程 826

16.3.4. 伊藤随机积分和随机微分方程 826

(1)伊藤积分定义 826

(2)伊藤积分的存在性 827

(3)伊藤积分的性质 827

(4)伊藤随机微分方程 828

16.4.1. 平稳过程和协方差函数 829

(1)定义 829

(2)平稳过程的简单性质 829

16.4. 平稳过程 829

(3)平稳正态马尔可夫过程 830

16.4.2. 平稳过程和协方差函数的谱分解 831

(1)协方差函数的谱分解 831

(2)平稳过程的谱分解 832

16.4.3. 遍历性定理 833

16.4.4. 若干相关函数与谱密度对应表 835

第十七章 统计计算方法 836

17.1. 初等计算 836

17.1.1. 样本均值与方差 836

(1)基本公式 836

(2)减常数算法 836

(3)两轮均值算法 837

(5)几种算法的结果比较 837

(4)递推算法 837

(2)多元样本协差阵的递推公式 838

17.1.2. 多元样本协差阵及其逆阵的递推公式 838

(1)多元样本的均值及协差阵 838

(3)增加或删去一个样本时的协差阵及其逆阵 839

17.1.3. 扫除算法 840

(1)高斯-若当消去法 840

(2)扫除变换的定义 841

(3)扫除变换的性质 841

(4)扫除变换公式的变形 842

(5)扫除变换的应用 843

17.1.4. 排序问题 845

(1)气泡法(交换排序法) 845

(2)选择排序法 845

(3)快速排序法 845

17.2. 分布函数及分位数的近似计算 846

17.2.1. 分布函数 846

17.2.2. 分位数的二阶迭代法 847

(2)二阶迭代法 847

(1)牛顿迭代法 847

17.2.3. 标准正态分布函数和分位数的近似公式 848

(1)标准正态分布函数的近似公式 848

(2)标准正态分布分位数的近似公式 850

17.2.4. 一些常用分布的计算公式 852

(1)x2分布的数值计算 852

(2)β分布的数值计算 854

(3)t分布的数值计算 857

(4)F分布的数值计算 859

(5)二项分布的数值计算 860

(6)泊松分布的数值计算 861

(7)各种分布在近似计算中的关系 862

17.3. 随机数的产生 863

17.3.1. 随机数的概念 863

17.3.2. 均匀分布随机数的产生方法 863

(1)乘同余法 864

(1)直接抽样 865

(2)乘加同余法 865

(3)组合同余法 865

17.3.3. 其他分布随机数的产生方法 865

(2)离散型分布的直接抽样方法 866

(3)变换抽样方法 867

(4)舍选抽样 868

(5)近似抽样 869

(1)绝对误差 871

(3)有效数字 871

(2)相对误差 871

18.1.1. 几种误差 871

18.1. 误差分析 871

第十八章 误差分析·插值法·曲线拟合 871

10.1.2. 误差限的估计 872

(1)绝对误差限的估计 872

(2)相对误差限的估计 872

18.1.3. 某些控制计算误差的实例 873

18.1.4. 高斯误差定律 874

(4)高斯误差方程 875

(3)概率误差γ 875

(1)标准误差σ 875

(2)平均误差η 875

(5)误差概率表 876

18.2. 代数插值·差分·差商·三角插值 876

18.2.1. 拉格朗日插值公式 876

(1)一元拉格朗日插值公式 876

(2)一元三点拉格朗日插值公式 877

(3)二元拉格朗日插值公式 877

(2)分段三次埃尔米特插值公式 878

18.2.2. 埃尔米特插值公式 878

(1)两个节点带导数的三次插值公式 878

(4)二元三点拉格朗日插值公式 878

(3)2n+1次埃尔米特插值公式 880

18.2.3. 差分 881

(1)几种算子的定义 881

(2)高阶差分 881

(3)向前差分表 882

(5)若干重要性质 882

(4)向后差分表 882

(6)函数值与差分之间的关系 883

(2)差商表 884

(1)差商的定义 884

18.2.4. 差商 884

(3)差商性质 885

18.2.5. 牛顿插值公式 885

(1)牛顿基本插值公式 885

(2)牛顿前插公式 886

(3)牛顿后插公式 886

18.2.6. 斯特林插值公式 887

18.2.7. 贝塞尔插值公式 888

18.2.8. 埃特金逐步计算法 890

18.2.9. 三角插值 891

(1)区间［0，1］上的等距节点三角插值 891

18.3.1. 单位跳跃函数与m次半截多项式 892

(1)单位跳跃函数 892

(2)区间［0，2π］上的等距节点三角插值 892

18.3. 样条插值 892

(2)一次，k次磨光函数的定义 893

(2)m次半截多项式 893

(1)对称差分 893

18.3.2. 磨光函数与B样条函数 893

(3)k次B样条 894

18.3.3. 二次样条插值 895

(1)k次多项式样条函数 895

(3)二次样条插值问题1 895

(2)函数集合S？(π，k) 895

(4)二次样条插值问题2 896

(5)插值余项 897

18.3.4. 三次样条插值 897

(1)插值问题 897

(2)最小模性质 898

(3)最佳逼近性质 898

(4)非等距节点三次样条函数表达式 898

(5)等距节点三次样条函数表达式 900

(1)分片双一次插值 902

18.4. 曲面插值 902

(6)插值余项 902

18.4.1. 矩形域上分片插值 902

(2)分片不完全的双二次插值 903

(1)问题的提法 904

(2)插值函数 904

18.4.2. 矩形域上分片双三次埃尔米特插值 904

18.4.3. 康斯曲面 906

(1)插值算子 906

(2)布尔和 906

(3)双一次康斯曲面 906

(4)双三次康斯曲面 907

18.5. 有理函数插值 909

18.5.1. 连分式的计算 909

(1)算式1 909

(2)算式2 909

18.5.2. 有理分式作插值函数 910

(1)插值问题的提法 910

(2)插值公式 910

(4)逐步有理插值 911

(5)误差估计公式 911

(3)反差商表 911

18.5.3. 帕第插值 912

(1)定义 912

(2)帕第插值表示式 912

(3)误差公式 913

18.5.4. 切比雪夫形式的帕第逼近 913

(1)问题的提法 913

(2)Pm(x),qn(x)的确定 914

(3)误差公式 914

18.6. 曲线拟合与平滑 915

18.6.1. 多项式曲线拟合 915

18.6.2. 指数曲线拟合 916

18.6.3. 正交多项式曲线拟合 917

18.6.4. 一般非线性函数的最小二乘法曲线拟合 918

(1)问题的提法 918

(2)高斯-牛顿法 918

(3)麦夸脱法 919

18.7 离散傅里叶变换的快速算法 920

18.7.1. 傅里叶积分的离散化 920

(1)傅里叶积分 920

(2)傅里叶正变换 921

(3)傅里叶逆变换 921

(4)傅里叶积分的离散化 921

18.7.2. 快速傅里叶变换(FFT) 922

(1)FFT的基本方法 922

(2)以2为底的快速傅里叶变换 924

19.1. 数值微分 927

19.1.1. 差商近似微商 927

19.1.2. 运用插值函数求微商 927

(1)由拉格朗日插值公式求微商 927

第十九章 数值微分·数值积分·积分方程数值解 927

(2)由牛顿前插公式求微分 928

(3)由贝塞尔插值公式来微分 929

(4)几个常用公式 930

19.1.3. 利用幂级数展开式求数值微分 931

(1)由泰勒级数展开式求数值微分 931

(2)几个常用公式 932

19.1.4. 用三次样条函数求数值微分 932

19.1.5. 外推法求数值微分 933

(1)理查逊外推法误差估计式 933

(2)理查逊外推序列 933

(3)理查逊外推法求数值微商 934

19.1.6. 将微分问题转化为积分问题 935

(1)中矩形微分公式 935

(2)辛浦生数值微分公式 935

19.2. 插值型求积公式 936

19.2.1. 一般内插求积公式 936

19.2.2. 等距节点求积公式 936

(1)牛顿-柯特斯公式 936

(7)复化梯形公式 938

(5)中矩形公式 938

(6)梯形公式 938

(3)牛顿-柯特斯公式的误差 938

(2)柯特斯系数表 938

(4)左矩形公式 938

(10)柯特斯公式 939

(8)辛浦生公式 939

(9)复化辛浦生公式 939

(11)复化柯特斯公式 940

19.3. 龙贝格求积法 940

19.4. 高斯型求积公式 942

19.4.1. 一般高斯型求积公式 942

19.4.2. 高斯-勒让德求积公式 943

(1)区间［-1，1］上的高斯-勒让德求积公式 943

(2)一般区间的高斯-勒让德求积公式 943

(3)节点x?和系数Ak表 944

19.4.3. 第一类切比雪夫积分 945

19.4.4. 第二类切比雪夫积分 945

19.4.5. 高斯-埃尔米特求积公式 945

(1)求积公式(Ⅰ) 945

(2)求积公式(Ⅱ) 946

(3)节点xk和系数Ak，Bk表格 946

(1)求积公式(Ⅰ) 947

(2)求积公式(Ⅱ) 947

19.4.6. 高斯-拉盖尔求积公式 947

(3)节点xk和系数Ak，Bk表格 948

(4)高斯-广义拉盖尔求积公式 949

19.5. 其他几种数值积分方法 950

19.5.1. 用切比雪夫级数展开的积分法 950

19.5.2. 计算振荡函数的菲隆方法 951

(1)计算公式 951

(2)计算方案 952

19.5.3. 平均抛物插值法 952

19.6. 多重积分 954

19.6.1. 重积分的累次积分法 954

19.6.2. 二重积分的复化梯形公式 955

19.6.3. 二重积分的复化辛浦生公式 956

19.6.4. 重积分的高斯型求积公式 957

19.6.5. 求三维单位球体上的函数的积分公式 958

19.7.1. 机械求积方法 960

19.7. 积分方程的近似解法 960

19.7.2. 待定系数逼近法 961

19.7.3. 近似退化核替代法 962

19.8. 自动积分法 963

(1)逐次分半中矩形公式--非自适应迭代型格式 964

(2)自适应非迭代型求积公式 964

19.8.1. 中矩形求积公式 964

19.8.2. 辛浦生求积公式 965

(1)逐次分半辛浦生公式 965

(2)自适应辛浦生求积法 966

(3)求二重积分的逐次分半辛浦生方法 969

(2)三种常用的向量范数 971

(1)向量范数的定义 971

20.1. 向量和矩阵的范数 971

第二十章 线性方程组的解法·矩阵求逆 971

(3)向量范数的性质 972

(4)矩阵范数定义 972

(5)三种常用的矩阵范数 972

(6)矩阵范数的性质 973

(7)伏罗别牛斯范数 974

20.2.1. 高斯消去法 974

20.2. 线性方程组的解法 974

(8)伏罗别牛斯范数的性质 974

(1)高斯消去法的消元过程 975

(2)回代过程 976

(3)按列选主元素法 976

(4)全主元素法 976

20.2.2. 高斯-若当消去法 977

20.2.3. 克劳特分解法解线性方程组 977

(1)矩阵的三角分解 977

(2)克劳特分解法 978

20.2.4. 多利特勒分解法求解线性方程组 979

(1)多利特勒分解 979

(2)方程组AX=b求解 979

20.2.5. 乔列斯基分解法解方程组 980

(1)乔列斯基分解 980

(2)方程组AX=b求解 980

20.2.6. 解对称方程组的改进平方根法 981

20.2.7. 解对称正定带型方程组的平方根法 982

20.2.8. 解对称正定带型方程组的改进平方根法 983

20.2.9. 解三对角方程组的追赶法 984

(1)矩阵条件数定义 985

20.2.10. 矩阵的条件数·病态方程组 985

(2)矩阵条件数性质 985

(4)摄动分析 986

(3)病态方程组 986

20.2.11. 解病态对称方程组的直接--迭代校正法 987

20.2.12. 雅可比迭代法 987

(1)雅可比迭代的分量形式 988

(2)雅可比迭代的矩阵形式 988

(3)雅可比迭代收敛的充要条件 989

(4)雅可比迭代收敛的充分条件 989

20.2.13. 赛德尔迭代法 990

(1)赛德尔迭代的分量形式 991

(2)赛德尔迭代法的矩阵形式 991

(3)赛德尔迭代收敛的充要条件 991

(4)赛德尔迭代收敛的充分条件 991

(2)超松弛迭代法的矩阵形式 993

(3)SOR方法的收敛条件 993

(1)逐次超松弛迭代公式 993

20.2.14. 超松弛迭代法 993

20.2.15. 解对称正定方程组的最速下降法 994

20.2.16. 分块简单迭代法 995

20.2.17. 分块松弛法 995

20.2.18. 解高阶稀疏对称正定方程组的变带宽法 996

20.3. 矩阵求逆 997

20.3.1. 伴随矩阵与逆矩阵表达式 997

20.3.2. 对角阵与三角形矩阵的逆阵 997

20.3.3. 用解线性方程组的方法求逆阵 998

20.3.4. 正定矩阵的三角分解求逆法 999

20.3.5. 矩阵分块求逆法 1000

(1)分块求逆 1000

(2)加边法求逆阵 1001

20.3.6. 初等变换法求逆阵 1002

20.3.7. 高斯-若当法求逆阵 1003

(1)高斯-若当消去法 1003

(2)求正定矩阵之逆阵的高斯-若当法 1003

20.3.8. 全主元素法求逆阵 1004

20.3.10. 叶尔索夫法求逆阵 1005

(1)矩阵按列分解式 1005

20.3.9. 消秩法求逆的快速紧凑格式 1005

(2)矩阵求逆格式 1005

20.3.11. 迭代法求逆阵 1006

第二十一章 方程解法、非线性方程组解法 1007

21.1. 方程解法 1007

21.1.1. 二分法 1007

21.1.2. 秦九韶法(和纳法) 1008

21.1.3. 一般迭代法 1009

(1)方程x=Φ(x)的迭代格式及收敛条件 1010

(2)方程f1(x)=f2(x)的迭代格式 1010

21.1.4. 贝努里法 1010

(1)求按模最大实根 1010

(2)误差估计 1011

(3)求√？的牛顿法 1011

(2)求按模最小实根 1011

21.1.5. 一般牛顿法 1011

(1)迭代公式 1011

21.1.7. 牛顿-麦奇利法 1012

21.1.6. 近似牛顿法 1012

21.1.8. 逐次压缩牛顿法 1013

21.1.9. 牛顿-下山法 1013

21.1.10. 求复系数多项式零点的牛顿法 1014

21.1.11. 弦截法 1016

(1)单点弦截法 1016

(3)平行弦截法 1017

(2)双点弦截法 1017

21.1.12. 改进的弦截法 1018

21.1.13. 联合法(牛顿法与弦截法联合使用) 1019

(1)迭代公式(Ⅰ) 1019

(2)迭代公式(Ⅱ) 1020

21.1.14. 多点迭代法 1020

21.1.15. 劈因子法(林士谔-赵访熊法) 1021

21.1.16. 米勒尔方法(二次标值法) 1023

21.1.17. 钱伯斯法 1024

21.1.19. 蒙特卡洛方法求复根 1026

21.1.18. 蒙特卡洛方法求实根 1026

(2)埃特金加速方法 1027

21.1.20. 迭代的收敛阶和埃特金加速收敛方法 1027

(1)迭代法的收敛阶 1027

21.2. 非线性方程组的解法 1028

21.2.1. 迭代程序的收敛性与收敛速度 1028

(1)迭代程序的收敛性 1029

(2)迭代程序的收敛速度 1029

21.2.2. 解非线方程组的一般迭代法 1029

(1)迭代公式 1029

(1)牛顿法 1030

21.2.3. 解非线方程组的牛顿法及其变形 1030

(2)误差估计 1030

(2)带松弛因子的牛顿法 1031

(3)带阻尼因子的牛顿法 1032

(4)修正牛顿法 1032

21.2.4. 解牛顿方程组的直接方法 1032

(1)牛顿方程组 1032

(2)牛顿程序的计算步骤 1033

21.2.5. 解牛顿方程组的松弛型方法 1035

(2)牛顿-SOR方法 1035

(1)混合迭代程序 1035

(1)拟牛顿法的迭代程序 1036

(3)牛顿-雅可比迭代法 1036

21.2.6. 拟牛顿法 1036

(2)布罗伊登秩1算法 1037

(3)对称秩1算法 1037

(4)单参数秩2算法 1038

21.2.7. 梯度法(最速下降法) 1039

21.2.8. 蒙特卡洛方法求非线性方程组的一组实根 1040

22.1. 特征值的界 1042

(1)圆盘定理 1042

(2)实对称矩阵的特征值定理 1042

(3)其他有关性质 1042

第二十二章 矩阵特征值的计算 1042

22.2. 幂法·逆幂法 1043

22.2.1. 幂法 1043

22.2.2. 瑞利商 1044

22.2.3. 移位法 1045

22.2.4. 埃特金加速方法(δ2过程) 1045

22.2.5. 逆幂法 1046

22.3. 降阶法 1047

22.4. 雅可比方法 1048

22.4.1. 雅可比算法 1049

(1)基本思想 1049

(2)雅可比算法 1049

22.4.2. 古典的雅可比方法 1050

22.5. 求实对称方阵特