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第一篇 平面解析几何 2

第一章 向量和平面坐标系 2

1.1 向量的概念 2

1.2 向量的加减法 4

1.3 数乘向量 9

1.4 向量的数量积 12

1.5 向量的坐标·坐标系 17

1.5.1 直线上的坐标系 17

1.5.2 平面上的坐标系 18

1.5.3 向量运算的坐标表示 20

1.6 平面解析几何中的几个基本问题 22

1.6.1 向量的模与方向 22

1.6.2 两点间的距离 24

1.6.3 分线段为定比 26

1.6.4 数量积的坐标表示 27

1.6.5 三角形的面积 29

1.7 极坐标 31

1.7.1 极坐标系 31

1.7.2 极坐标系和直角坐标系的关系 32

1.8 曲线和方程 34

1.8.1 曲线和方程 34

1.8.2 圆 38

1.8.3 曲线的参数方程和极坐标方程 41

1.8.4 两曲线的交点 44

复习思考题一 46

习题一 48

第二章 直线 53

2.1 直线的方程 53

2.1.1 点向式和参数式直线方程 53

2.1.2 两点式和截距式方程 55

2.1.3 直线的一般式方程 57

2.1.4 例题 58

2.2 直线的相关位置 63

2.2.1 两直线的夹角 63

2.2.2 两直线平行、垂直的条件 66

2.2.3 三直线共点的条件 69

2.3 直线的法线式方程 71

2.3.1 直线的法线式方程 71

2.3.2 法线式方程的特点 72

2.3.3 化直线的一般式方程为法线式 74

2.4 直线和点的相关位置·直线到点的距离 75

2.4.1 直线和点的相关位置 75

2.4.2 直线到点的距离 77

2.5 线束 83

2.5.1 直线束 83

2.5.2 曲线束 86

复习思考题二 88

习题二 90

第三章 二次曲线及其一般的理论 96

3.1 椭圆及其基本性质 96

3.1.1 椭圆的标准方程 96

3.1.2 椭圆的几何性质和形状 99

3.1.3 椭圆的尺规作图和参数方程 101

3.2 双曲线及其基本性质 105

3.2.1 双曲线的标准方程 106

3.2.2 双曲线的几何性质和形状 108

3.2.3 双曲线的尺规作图和参数方程 112

3.3 抛物线及其基本性质 117

3.3.1 抛物线的标准方程 117

3.3.2 抛物线的几何性质和形状 118

3.3.3 抛物线的尺规作图和参数方程 119

3.3.4 抛物线的其它几种形式的标准方程 120

3.4 椭圆、双曲线和抛物线的共同性质 123

3.4.1 焦点和准线的性质 123

3.4.2 圆锥截线 127

3.5 圆锥曲线的统一定义和方法 130

3.6 圆锥曲线的切线和法线 134

3.6.1 圆锥曲线的切线方程 134

3.6.2 圆锥曲线的光学性质 139

3.7 一般二次曲线的化简与分类 143

3.7.1 坐标变换 144

3.7.2 在移轴下二次曲线系数的变化 147

3.7.3 在转轴下二次曲线系数的变化 152

3.7.4 二次曲线方程的化简与作图 155

3.7.5 一般二次曲线的分类及分类表 159

3.8 二次曲线的一般性质 166

3.8.1 常态二次曲线的渐近线 166

3.8.2 二次曲线上一点的切线 173

3.8.3 二次曲线上的奇(异)点 176

3.8.4 二次曲线的直径和共轭直径 177

3.8.5 二次曲线的主方向·主直径 181

复习思考题三 183

习题三 185

第四章 其他常见的平面曲线 193

4.1 渐开线和旋轮线 193

4.1.1 圆的渐开线 193

4.1.2 摆线(旋轮线) 196

4.1.3 内摆线和外摆线 197

4.1.4 参数方程的作图——笛卡尔叶形线 202

4.2 蜗线·螺线·蚌线 207

4.2.1 极坐标方程的作图 207

4.2.2 巴斯加蜗线 209

4.2.3 阿基米德螺线 213

4.2.4 尼哥米德蚌线 215

4.2.5 极坐标系下两曲线的交点 220

复习思考题四 225

习题四 226

第二篇 空间解析几何 230

第五章 向量和空间坐标系 230

5.1 空间中的向量与坐标法 230

5.1.1 空间向量的坐标 230

5.1.2 空间坐标系 232

5.2 向量的向量积 237

5.3 向量的混合积 244

5.4 双重向量积 248

5.4.1 三向量的双重向量积 248

5.4.2 几个重要的恒等式 250

5.5 空间解析几何中几个基本的问题 252

5.5.1 分线段为定比 252

5.5.2 两点间的距离 254

5.5.3 三角形的面积 254

5.5.4 四面体的体积 256

5.6 曲面和空间曲线 257

5.6.1 曲面与方程 257

5.6.2 空间曲线的方程 263

5.7 球面坐标与柱面坐标 266

5.7.1 球面的参数方程和球坐标 266

5.7.2 圆柱面的参数方程和柱坐标 268

5.8 坐标变换 270

5.8.1 坐标系的平移 270

5.8.2 一般坐标变换 271

小结与复习思考题五 275

习题五 281

第六章 平面和空间直线 287

6.1 平面的方程 287

6.1.1 平面的点法式方程和平面的一般方程 287

6.1.2 一点二向量或三点决定平面的方程 291

6.2 平面的法线式方程·平面与点的相关位置 295

6.2.1 平面的法线式方程 295

6.2.2 平面与点的相关位置 298

6.3 两平面的相关位置 300

6.4 空间直线的方程 303

6.4.1 直线的参数方程·标准方程 303

6.4.2 直线的两点式方程·普通方程 306

6.5 直线与平面的相关位置 309

6.5.1 直线与平面的夹角 310

6.5.2 直线与平面的交点 311

6.6 空间两直线的相关位置 314

6.6.1 直线与直线的相关位置 314

6.6.2 两直线的夹角 315

6.6.3 两异面直线的公垂线段 318

6.7 空间直线与点的相关位置 321

6.8 平面束 324

小结与复习思考题六 327

习题六 334

第七章 曲面 342

7.1 柱面 342

7.1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程 343

7.1.2 柱面的一般方程 345

7.1.3 柱面的参数方程 346

7.1.4 由生成规律给出柱面的方程 347

7.1.5 曲线的射影柱面 349

7.2 锥面 351

7.2.1 顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程 351

7.2.2 锥面的一般方程 353

7.2.3 锥面的参数方程 356

7.2.4 由生成规律给出锥面的方程 357

7.3 旋转曲面 360

7.3.1 旋转曲面的一般方程 361

7.3.2 平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面 363

7.3.3 旋转二次曲面 365

7.4 椭球面 368

7.5 双曲面 374

7.5.1 单叶双曲面 374

7.5.2 双叶双曲面 378

7.5.3 双曲面的渐近锥面 383

7.6 抛物面 384

7.6.1 椭圆抛物面 385

7.6.2 双曲抛物面 389

7.7 二次直纹面 391

7.7.1 单叶双曲面是二次直纹面 392

7.7.2 双曲抛物面是二次直纹面 395

7.7.3 单叶和双叶双曲面直母线的性质 399

7.8 一般二次曲面简介 401

7.8.1 二次曲面与直线的相关位置 401

7.8.2 二次曲面的径面 402

7.8.3 主方向和主径面 405

7.8.4 二次函数特征根的研究 407

7.8.5 一般二次曲面的平截线·切平面和奇点 409

7.8.6 一般二次曲面的中心 413

7.8.7 一般二次曲面的分类 417

复习思考题七 421

习题七 427