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第一篇 平面解析几何 3

第一章 曲线与方程 3

第一节 平面坐标法 3

一、平面直角坐标系 3

二、有向线段 5

三、两点间的距离公式 6

四、中点坐标公式 6

第二节 曲线与方程 8

一、曲线 8

二、曲线的方程 9

三、曲线方程的求法 9

四、方程的图形 10

五、两曲线的交点 11

习题 11

第二章 直线 13

第一节 直线的倾角和斜率 13

一、概念 13

二、斜率公式 13

第二节 平行于坐标轴的直线方程 15

一、平行于 x 轴的直线方程 15

二、平行于 y 轴的直线方程 15

第三节 直线的斜截式方程 16

一、截距 16

二、公式 16

第四节 直线和一次方程 17

一、任何直线的方程必是含坐标 x、y 的一次方程 17

二、含坐标 x、y 的一次方程是一条直线 17

第五节 直线方程的其他类型 17

一、点斜式 17

二、两点式 18

三、截距式 18

第六节 平行、垂直条件 20

一、两直线平行的充要条件是它们的斜率相等 20

二、两直线垂直的充要条件是它们的斜率互为负倒数 21

习题 22

第三章 二次曲线 23

第一节 圆 24

一、定义 24

二、标准方程 24

三、圆的一般方程 24

第二节 抛物线 26

一、抛物线的定义 26

二、抛物线的标准方程 26

三、抛物线的几何性质 27

第三节 双曲线 28

一、双曲线的定义 29

二、双曲线的标准方程 30

三、双曲线的几何性质 30

四、例题 32

第四节 椭圆 33

一、椭圆的定义 34

二、椭圆的标准方程 34

三、椭圆的几何性质 35

四、例题 36

第五节 坐标变换 38

一、平移变换 38

二、旋转变换 39

第六节 一般二元二次方程图形的判断 42

习题 43

第二篇 微积分 46

第四章 函数 46

第一节 常量、变量、区间 46

一、常量与变量 46

二、区间 47

第二节 函数 48

一、函数的概念 48

二、函数的定义域 50

三、函数值 51

四、函数的表示法 52

第三节 列函数关系式举例 53

第四节 基本初等函数及其图形 55

一、基本初等函数 55

二、复合函数、初等函数 63

习题 65

第五章 极限与连续 67

第一节 极限概念 67

一、实践中的极限问题举例 67

二、极限概念 70

第二节 极限的运算法则 73

第三节 两个重要的极限 76

第四节 无穷小量与无穷大量 78

一、无穷小量 78

二、无穷大量 80

三、无穷大与无穷小的关系 80

四、函数的极限与无穷小量的关系 81

五、无穷小量的比较 81

第五节 函数的连续性 82

一、函数的增量 83

二、函数的连续性 84

习题 86

第六章 导数 88

第一节 导数概念 88

一、实践中的变化率问题举例 88

二、导数的定义 91

三、导数的几何意义 93

四、函数的可导性与连续性的关系 95

第二节 几个基本初等函数的导数 96

一、常数的导数 96

二、幂函数的导数 96

三、正弦函数和余弦函数的导数 98

四、对数函数的导数 99

第三节 函数的和、差、积、商的导数 100

一、函数和、差的求导法则 100

二、函数乘积的求导法则 100

三、函数商的求导法则 101

第四节 复合函数的导数 103

一、复合函数的求导 103

二、指数函数的导数 105

三、反函数的导数 106

第五节 隐函数的导数 108

第六节 高阶导数 110

习题 111

第七章 导数的应用 115

第一节 中值定理 115

第二节 函数的增减性 116

第三节 函数的最大值、最小值 118

一、函数的极值 118

二、函数的最大值和最小值 122

第四节 函数的作图 127

一、曲线的凸凹和拐点 127

二、函数的作图 130

习题 132

第八章 微分及其应用 133

第一节 微分概念 133

一、实践中的微分问题举例 133

二、微分概念 135

三、微分的几何意义 136

第二节 微分的计算 137

一、微分基本公式 137

二、函数的和、差、积、商的微分运算法则 137

三、复合函数的微分 137

第三节 微分的应用 139

一、利用微分计算函数的近似值 139

二、利用微分估计函数值的误差 142

习题 144

第九章 多元函数的微分法 145

第一节 多元函数概念 146

一、多元函数的概念 146

二、二元函数的极限与连续 148

第二节 偏导数 149

一、偏导数 149

二、复合函数的微分法 151

三、高阶偏导数 152

第三节 全微分 153

一、全微分概念 153

二、全微分在近似计算上的应用 155

第四节 二元函数的最大(小)值 156

一、极大、极小值 156

二、最大值、最小值 158

三、条件极值 159

第五节 用最小二乘法求经验公式 161

一、用最小二乘法求经验公式 161

二、函数的线性化 163

习题 168

第十章 定积分与不定积分 170

第一节 定积分概念 170

一、实践中的定积分问题举例 170

二、定积分概念 175

三、定积分的几何意义 176

第二节 定积分的性质 178

第三节 微积分的基本公式 180

一、从变速直线运动问题看定积分与导数的关系 180

二、变上限的定积分 181

三、微积分的基本公式 183

第四节 不定积分 185

一、不定积分概念 185

二、基本积分表及运算法则 187

三、三种积分方法 190

第五节 定积分的计算 198

一、用基本公式计算定积分 198

二、定积分的近似计算 201

第六节 广义积分 204

一、积分区间为无限的广义积分 204

二、被积函数有不连续点的广义积分 206

三、Γ函数与β函数 207

习题 210

第十一章 定积分的应用 215

第一节 定积分在几何上的应用 215

一、平面图形的面积 215

二、体积 218

三、平面曲线的弧长 221

第二节 定积分在物理上的应用 221

一、变力沿直线作功 221

二、液体静压力 224

三、函数的平均值 225

习题 228

第十二章 常微分方程 229

第一节 微分方程的概念 229

一、实践中的微分方程举例 229

二、微分方程的基本概念 230

第二节 一阶微分方程 231

一、可分离变量的方程 231

二、一阶线性方程 233

第三节 几种特殊类型的二阶微分方程 237

一、y〃=f(x)型 237

二、y〃=f(x,y )型 238

三、y〃=f(y,y )型 240

习题 242

第十三章 级数 243

第一节 收敛级数与发散级数的概念 243

一、无穷级数的概念 244

二、收敛与发散 244

三、收敛的必要条件 245

四、比值判定法 246

第二节 幂级数 247

一、定义 247

二、幂级数敛散性的判定法 247

三、收敛半径的求法 247

第三节 戴劳级数及马克洛林级数 248

一、戴劳级数 248

二、马克洛林级数 249

第四节 初等函数的展开及其应用 249

一、直接方法 249

二、其他方法 251

三、应用 252

习题 255

第三篇 线性代数初步 257

第十四章 行列式 257

第一节 二元线性方程组与二阶行列式 257

第二节 三阶行列式 260

第三节 行列式的性质 261

第四节 三元线性方程组的解法 266

第五节 齐次线性方程组的解 268

第六节 n 阶行列式与 n 元线性方程组 269

习题 272

第十五章 矩阵 274

第一节 矩阵及其运算 274

一、矩阵的概念 274

二、矩阵的运算 277

第二节 附加矩阵与逆矩阵 284

第三节 线性方程组的矩阵解法 287

一、逆矩阵与线性方程组的解 287

二、高斯消去法 289

三、主元素消去法 291

习题 293

习题答案 296

附录Ⅰ 初等数学基本公式 310

附录Ⅱ 简易积分表及用法举例 316