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第一章 积分方程的概念、分类及来源 1

1.1 积分方程的概念与分类 1

1.2 积分方程的来源 3

习题 18

第二章 第二类 Fredholm 方程 18

2.1 逐次逼近法 19

2.2 退化核方程 26

2.3 Fredholm 方法 32

2.4 Fredholm 定理 38

习题 49

第三章 对称核方程 53

3.1 对称核方程及它的性质 53

3.2 核关于特征函数的展开式 59

3.3 迭核关于特征函数的展开式 62

3.4 Hilbert-Schmidt 定理 65

3.5 非齐次对称核方程的解 67

3.6 可化为对称核的方程 72

3.7 用 Green 函数解微分方程的边值问题 73

3.8 Steklov 展开定理 76

3.9 含参数的边值问题及对应的积分方程 77

3.10 对称核的第一特征值 正定核 79

习题 82

第四章 Volterra 方程 83

4.1 第二类 Volterra 方程 86

4.2 第一类 Volterra 方程 92

4.3 Abel 方程 95

习题 99

第五章 用积分变换解积分方程 103

5.1 用 Fourier 变换解卷积型 Fredholm 积分方程 103

5.2 用 Laplace 变换解积分方程 108

5.3 用 Mellin 变换解积分方程 115

5.4 Hankel 变换 有限 Hankel 变换 120

习题 122

第六章 第一类 Fredholm 方程 127

6.1 特征值与特征函数 退化核方程 127

6.2 Schmidt-Picard 定理 132

6.3 逐次逼近法 135

6.4 母函数法 138

6.5 Schl？milch 积分方程 141

习题 143

第七章 积分方程的近似解法 145

7.1 用退化核近似任意核 145

7.2 用数值积分法求积分方程的近似解 152

7.3 逐次逼近法 163

7.4 待定系数(逼近)法 168

7.5 求对称核特征值与特征函数的近似方法 173

7.6 求一般核特征值的近似方法 184

习题 184

第八章 奇异积分方程 187

8.1 基本概念 187

8.2 奇异积分方程的解法 191

8.3 Noether 定理 200

习题 203

8.4 奇异积分方程组 203

第九章 积分方程组与非线性积分方程 204

9.1 积分方程组 204

9.2 非线性第二类 Fredholm 方程 205

9.3 非线性第一类 Fredholm 方程 215

9.4 非线性第二类 Volterra 方程 215

9.5 非线性第一类 Volterra 方程 218

习题 219

附录1 广义 Leibnitz 公式 221

附录2 特殊核的 Fredholm 行列式表 222

附录3 特征函数表 223

附录4 L2(a，b)空间 225

附录5 常微分方程定解问题 Green 函数的求法 227

附录6 Green 函数表 235

附录7 Euler 积分 237

附录8 Mellin 变换表 239

附录9 Hilbert 变换与有限 Hilbert 变换 240

附录10 Cauchy 型积分及其性质 242

附录11 Riemann 问题 252