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第一章 分析力学的基本概念 1

1．1 约束及其分类 1

1．1．1 约束 1

1．1．2 约束方程 2

1．1．3 约束的分类 3

1．1．4 微分约束的可积性定理 7

1．1．5 约束概念的扩充 11

1．2．1 广义坐标 12

1．2 广义坐标、广义速度和广义加速度 12

1．2．2 广义速度 13

1．2．3 广义加速度 15

1．2．4 非完整约束方程在广义坐标、广义速度下的表达式 16

1．3 准速度、准坐标和准加速度 17

1．3．1 准速度 17

1．3．2 准坐标 20

1．3．3 准加速度 21

1．3．4 高阶准速度 23

1．4．1虚位移 24

1．4 虚位移 24

1．4．2 实位移处于虚位移中的充要条件 28

1．4．3 虚位移概念的推广 29

1．5 理想约束 31

1．5．1 约束反力与理想约束 31

1．5．2 理想约束的例子 32

1．5．3 理想约束假定的重要性和可能性 32

1．6 微分运算与变分运算的交换关系 32

1．6．1 一阶非完整系统的交换关系 33

1．6．2 高阶非完整系统的交换关系 38

1．6．3 新型交换关系 41

1．7 历史资料 42

1．7．1 名家介绍 42

1．7．2 国外分析力学名著与教材 42

1．7．3 我国出版的分析力学专著和教材 45

1．7．4 分析力学大事年表 46

习题 49

1．7．5 关于分析力学的历史与现状研究 49

1．7．6 关于分析力学的基本概念的研究 49

参考文献 50

第二章 分析力学的变分原理 52

2．1 微分变分原理 52

2．1．1 D Alembert-Lagrange原理 52

2．1．2 Jourdain原理 57

2．1．3 Gauss原理 58

2．1．4 万有D Alembert原理 59

2．1．5 微分变分原理的应用 63

2．2 完整系统在广义坐标下的积分变分原理 68

2．2．1 Hamilton原理 68

2．2．2 Lagrange原理 76

2．3 完整系统在准坐标下的积分变分原理 84

2．3．1 完整系统在准坐标下的Hamilton原理 84

2．3．2 完整系统在准坐标下的Lagrange原理 89

2．4．1 变分δqs的定义 90

2．4 非完整系统的积分变分原理 90

2．4．2 非完整系统广义坐标下的积分变分原理 93

2．4．3 非完整系统准坐标下的积分变分原理 105

2．5 一类新型积分变分原理 107

2．5．1 m次速度空间中的积分变分原理 107

2．5．2 二次速度空间中的积分变分原理及其极值特性 111

2．5．3 新型积分变分原理的应用 113

2．6 新型交换关系下的Hamilton原理和高阶非完整系统的Hamilton原理 115

2．6．1 完整非保守系统的Hamilton原理 116

2．6．2 非完整非保守系统的Hamilton原理 118

2．6．3 高阶非完整系统的Hamilton原理 121

2．7 历史资料 124

2．7．1 名家介绍 124

2．7．2 力学的变分原理发展简史 125

习题 127

参考文献 129

3．1．1 完整系统的Lagrange方程 131

3．1 Euler-Lagrange体系的方程 131

第三章 分析力学的各种运动微分方程 131

3．1．2 非完整系统带乘子的Lagrange方程 145

3．1．3 非完整系统的Mac-Millan方程 150

3．1．4 非完整系统的Volterra方程 151

3．1．5 非完整系统的Чаплыгин方程 155

3．1．6 非完整系统的Boltzmann-Hamel方程 161

3．1．7 高阶非完整系统的Euler-Lagrange形式的方程 165

3．2 Nielsen体系的方程 170

3．2．1 完整系统的Nielsen方程 170

3．2．2 非完整系统的广义Nielsen方程 175

3．2．3 高阶非完整系统的广义Nielsen方程 182

3．2．4 Euler-Lagrange体系的方程与Nielsen体系的方程的等价性 188

3．3 Appell体系的方程 193

3．3．1 Appell方程 193

3．3．2 Ценов方程 215

3．4．1 两大体系方程的混合 222

3．4 混合型方程 222

3．4．2 一类新的混合型方程 234

3．5 正则方程 238

3．5．1 完整系统的Hamilton正则方程 238

3．5．2 非完整系统的正则方程 242

3．6 历史资料 248

3．6．1 名家介绍 248

3．6．2 关于分析力学的运动方程 249

习题 250

参考文献 251

第四章 分析力学的某些专门问题 255

4．1 运动稳定性和小振动理论 255

4．1．1 完整系统平衡的稳定性和运动稳定性 255

4．1．2 完整系统的小振动 262

4．1．3 非完整系统平衡状态附近的小振动 266

4．2 刚体定点转动问题的分析动力学 271

4．2．1 Euler-Poisson方程及三种经典可积情形 272

4．2．2 Xapламов方程及其降阶问题 276

4．2．3 Euler-Poisson方程的若干特殊可积情形 281

4．2．4 带有非完整约束的刚体绕固定点转动问题 285

4．3 相对运动动力学 288

4．3．1 完整系统的相对运动动力学 288

4．3．2 非完整系统的相对运动动力学 297

4．4 可控力学系统的分析动力学 303

4．4．1 带参数约束系统的分析动力学 303

4．4．2 包含伺服约束系统的分析动力学 310

4．4．3 有约束受迫运动控制问题的分析动力学 317

4．5．1 给定打击冲量的情形 321

4．5 打击运动的分析动力学 321

4．5．2 瞬时加上约束的情形 329

4．6 变质量系统的分析动力学 333

4．6．1 变质量力学系统的D Alembert-Lagrange原理 333

4．6．2 变质量系统的Hamilton原理 339

4．6．3 变质量系统的运动微分方程 342

4．7 机电系统的分析动力学 349

4．7．1 机电系统分析力学的基本概念和Lagrange-Maxwell方程 349

4．7．2 Lagrange-Maxwell方程的应用 354

4．7．3 非完整动力学与电机的一般理论 360

4．8 事件空间中的分析动力学 360

4．8．1 事件空间中的Hamilton原理 361

4．8．2 事件空间中完整保守系统的运动方程 365

4．8．3 事件空间中非完整系统的运动方程 366

4．9 分析动力学逆问题 371

4．9．1 动力学逆问题的提法 371

4．9．2 运动方程的建立 373

4．9．3 运动方程的修改 376

4．9．4 运动方程的封闭 378

4．9．5 非完整系统动力学逆问题 382

4．10 历史资料 385

4．10．1 名家介绍 385

4．10．2 关于分析动力学的专门问题 386

习题 386

参考文献 389

5．1．1 循环积分和广义能量积分 392

第五章 分析力学方程的积分方法 392

5．1 动力学方程的降阶方法 392

5．1．2 完整系统的Routh方程和Whittaker方程 400

5．1．3 非完整系统方程的降阶方法 404

5．2 Poisson定理及其应用 416

5．2．1 Poisson括号及其性质 416

5．2．2 关于第一积分的Poisson定理 419

5．2．3 求非完整力学系统第一积分的Poisson方法 423

5．3 正则变换 430

5．3．1 正则变换及其群性 430

5．3．2 母函数 435

5．3．3 Mathieu变换和点变换 441

5．3．4 无限小正则变换 444

5．4 Hamilton-Jacobi方法 446

5．4．1 化零正则变换 446

5．4．2 Hamilton-Jacobi定理 448

5．4．3 Liouville和St?kel情形 451

5．4．4 Hamilton-Jacobi方法对特殊非完整系统的应用 458

5．5 场方法 467

5．5．1 求解常微分方程的场方法 467

5．5．2 完整系统的场方法 471

5．5．3 非完整系统的场方法 474

5．6 Noether定理 483

5．6．1 变换群 484

5．6．2 作用量的变分 485

5．6．3 作用量与Lagrange方程的关系 488

5．6．4 对称变换，准对称变换，广义准对称变换 491

5．6．5 Noether定理及其逆定理 496

5．6．6 力学中基本守恒定律的推导 500

5．6．7 Noether定理的推广形式 501

5．7 力学系统的积分不变量 510

5．7．1 Poincaré一阶线性相对积分不变量 511

5．7．2 高阶积分不变量 515

5．7．3 正则变换与积分不变量 520

5．7．4 关于积分不变量的唯一性定理 523

5．7．5 Poincaré-Cartan积分不变量 526

5．7．6 没有积分不变量的动力学方程 528

5．8 历史资料 529

5．8．1 名家介绍 529

5．8．2 关于分析力学方程的积分理论 530

习题 531

参考文献 533

6．1 张量分析的某些结论 536

6．1．1 张量的基本概念 536

第六章 分析力学的张量方法 536

6．1．2 张量的性质 540

6．1．3 绝对微分 541

6．2 基本动力学量和运动学量的张量表示 544

6．2．1 速度与加速度 544

6．2．2 动能和加速度能 547

6．3 定常系统的运动方程 549

6．3．1 Schouten-Vranceanu方程 551

6．3．2 Boltzmann-Hamel方程 555

6．3．3 Appell方程 563

6．4．1 Добронравов方程 568

6．4 非定常系统的运动方程 568

6．4．2 Добронравов方程与分析力学中其它方程的等价性 577

6．4．3 Boltzmann-Hamel方程 580

6．4．4 应用 586

6．5 历史资料 593

6．5．1 名家介绍 593

6．5．2 关于分析力学的张量方法 593

参考文献 594

习题 594

第七章 分析力学的外微分描述 597

7．1 可微流形 597

7．1．1 拓朴空间 597

7．1．2 微分流形 599

7．1．3 切空间 603

7．1．4 子流形 610

7．2．1 张量丛 614

7．2 外微分 614

7．2．2 微分形式 615

7．2．3 微分形式的运算 619

7．2．4 Frobenius定理 627

7．2．5 微分形式的积分 630

7．3 Hamilton力学的几何描述 637

7．3．1 辛流形 637

7．3．2 积分不变量 640

7．3．3 Poisson括号 643

7．3．4 Noether定理 645

7．3．5 正则变换 646

7．3．6 非定常力学 651

7．3．7 Hamilton原理 653

7．3．8 Hamilton-Jacobi方程的几何意义 656

7．4 Lagrange力学的几何描述 656

7．4．1 Legendre变换 657

7．4．2 非定常力学 663

7．4．3 Legendre逆变换 665

7．4．4 Hamilton原理 667

7．5 非完整力学系统的微分几何理论 670

7．5．1 Lagrange矢量场 671

7．5．2 广义Noether定理 680

7．5．3 Hamilton原理 687

7．5．4 高阶非完整力学系统的微分几何结构 688

7．6 历史资料 692

7．6．1 名家介绍 692

7．6．2 年事介绍 692

7．6．3 关于近代分析力学 693

习题 694

参考文献 696

第八章 Hamilton系统的混沌初步 700

8．1 一些基本概念 700

8．1．1 相空间中的运动 700

8．1．2 扩充相空间 702

8．1．3 作用积分 703

8．1．4 截面 705

8．1．5 可积系统和近可积系统 707

8．1．6 转动和摆动 708

8．2 作用-角变量 709

8．2．1 作用-角变量 709

8．2．2 作用-角变量的应用 711

8．3 经典摄动理论 719

8．3．1 单自由度系统 720

8．3．2 两个和两个以上自由度 724

8．3．3 对时间的明显依赖性 726

8．4 浸渐不变量 728

8．4．1 概述 728

8．4．2 浸渐不变量 730

8．4．3 浸渐不变量的构造 733

8．5 长期摄动理论 738

8．5．1 共振的排除 739

8．5．2 偶然退化和内在退化 742

8．5．3 高阶共振的排除 746

8．6 Hamilton系统和正则映射 751

8．6．1 可积系统 751

8．6．2 近可积系统 754

8．6．3 Hamilton形式和映射 756

8．7 正则映射的一般特性 758

8．7．1 无理旋转数和KAM稳定性 758

8．7．2 有理旋转数和Poincaré-Birkhoff定理 767

8．7．3 非线性映射的整体描述 771

8．7．4 Arnold扩散 774

8．7．5 数值例子 776

8．8 历史资料 777

8．8．1 名家介绍 777

8．8．2 关于Hamiltom系统的混沌 778

习题 779

参考文献 781

名词索引 782