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第一章 空间直角坐标 1

第一节 空间直角坐标系 1

1.1 右手系和左手系 1

1.2 空间点的坐标 4

1.3 卦限和坐标的符号 9

1.4 坐标系的平移 12

1.5 简单轨迹问题 13

习题1.1 15

第二节 两点间的距离 17

2.1 两点间的距离 17

2.2 简单轨迹问题 19

习题1.2 19

第三节 空间方向的确定 21

3.1 用射线表示方向 21

3.2 方向余弦 21

3.3 方向数 26

习题1.3 28

第四节 空间两方向间的角度 29

4.1 两条射线的夹角 29

4.2 两条射线垂直的充要条件 32

4.3 两条射线平行的充要条件 32

习题1.4 36

第五节 空间线段的定比分点 37

5.1 线段分比和分点的对应关系 37

5.2 定比分点的坐标 37

习题1.5 40

本章提要 41

复习题一 43

思考题一 45

第二章 向量代数 47

第一节 数量和向量 47

1.1 两类量 47

1.2 向量的表示法 48

1.3 几种特殊向量 50

习题2.1 51

第二节 向量加法 52

2.1 两个向量的加法 52

2.2 运算律 55

2.3 多个向量的加法 55

习题2.2 58

第三节 向量减法 58

习题2.3 60

第四节 数与向量的乘法 61

4.1 数与向量的乘法 61

4.2 运算律 63

4.3 定比分点的位置向量 67

习题2.4 70

第五节 向量的线性关系 71

5.1 共线向量 71

5.2 共面向量 74

5.3 向量的分解 77

5.4 向量的相关性 78

习题2.5 79

第六节 向量的线性运算在初等几何上的应用 81

习题2.6 85

第七节 向量的分量 86

习题2.7 91

第八节 向量的数乘法 92

8.1 两向量的数乘法 92

8.2 运算律 95

8.3 数量积的分量表示 99

习题2.8 103

第九节 向量的矢乘法 104

9.1 两向量的矢乘法 104

9.2 运算律 109

9.3 向量积的分量表示 114

习题2.9 117

第十节 三向量的乘法 119

10.1 数量三重积 119

10.2 向量三重积 126

习题2.10 128

第十一节 多向量的乘法 129

习题2.11 131

第十二节 向量方程的概念 131

习题2.12 132

本章提要 132

复习题二 134

思考题二 137

第三章 平面 138

第一节 平面方程的点法式和普遍式 138

1.1 平面方程的点法式 138

1.2 平面方程的普遍式 141

1.3 平面方程普遍式的讨论 142

习题3.1 145

第二节 平面方程的三点式和参数式 146

2.1 平面方程的三点式 146

2.2 平面方程的参数式 148

2.3 三条件确定一平面 150

2.4 平面的作图 151

习题3.2 153

第三节 平面方程的法线式 154

3.1 平面方程的法线式 154

3.2 化平面方程的普遍式为法线式 155

习题3.3 158

第四节 点和平面的关系 159

4.1 平面到点的有向距离 159

4.2 两点在平面同侧的判定 162

4.3 由两点所定的直线与定平面的交点分这两点所成线段的比 163

习题3.4 165

第五节 两个平面的关系 166

5.1 两个平面的相关位置 166

5.2 两个相交平面的交角和平分角面 168

5.3 两个平行平面的距离 172

习题3.5 173

第六节 三平面的关系 174

习题3.6 182

第七节 平面族 183

7.1 与一个平面平行的平面族 183

7.2 平面束 184

7.3 过一定点的平面把 188

7.4 过三个平面的交点的平面把 190

习题3.7 193

本章提要 194

复习题三 195

思考题三 198

第四章 空间直线 200

第一节 空间直线方程的各种形式 200

1.1 直线方程的参数式、对称式和两点式 200

1.2 直线方程的普遍式和投射式 207

1.3 四条件确定一空间直线 210

习题4.1 210

第二节 直线与平面的关系 211

2.1 直线与平面的相关位置 211

2.2 直线与平面的交角 215

习题4.2 217

第三节 空间两直线的关系 218

3.1 两直线的相关位置 218

3.2 点到直线的距离和两平行直线的距离 225

3.3 两异面直线的公垂线 228

习题4.3 233

第四节 平面和空间直线的结合问题 234

习题4.4 241

本章提要 243

复习题四 243

思考题四 246

第五章 曲面方程和空间曲线方程 248

第一节 空间点的轨迹 248

习题5.1 249

第二节 曲面 250

2.1 第一个基本问题--曲面的方程 250

2.2 第二个基本问题--三元方程的几何意义 254

2.3 第三个基本问题--曲面方程的讨论 255

2.4 曲面的参数方程 260

习题5.2 262

第三节 空间曲线 263

3.1 第一个基本问题--空间曲线的方程 263

3.2 第二个基本问题--两个三元方程的几何意义 265

3.3 第三个基本问题--空间曲线方程的讨论 265

3.4 空间曲线的参数方程 266

习题5.3 268

第四节 空间坐标变换 268

4.1 坐标系的平移(续) 268

4.2 坐标系的旋转 271

4.3 一般的坐标变换与点变换 280

习题5.4 281

第五节 曲面和空间曲线的分类 283

5.1 曲面的分类 283

5.2 空间曲线的分类 286

习题5.5 287

本章提要 287

复习题五 288

思考题五 289

第六章 特殊曲面 290

第一节 球面 290

1.1 球面的方程 290

1.2 球坐标系 295

1.3 点与球面的关系 296

1.4 直线与球面的关系 296

1.5 平面与球面的关系 299

1.6 两球面的关系 301

1.7 空间圆的方程 303

1.8 球面族 305

习题6.1 308

第二节 直圆柱面和直圆锥面 310

2.1 直圆柱面的方程 310

2.2 柱坐标系 312

2.3 直圆锥面的方程 313

习题6.2 315

第三节 曲线产生曲面 316

3.1 曲面方程的第二种建立法 316

3.2 直纹曲面的参数方程 320

习题6.3 322

第四节 简单的直纹曲面 322

4.1 柱面 322

4.2 锥面 328

4.3 劈锥面 334

4.4 曲线的投射柱面 336

4.5 直圆锥面的平截线 339

习题6.4 341

第五节 旋转曲面 342

5.1 旋转曲面的普遍方程 342

5.2 旋转曲面的参数方程 347

5.3 二次旋转曲面 349

习题6.5 351

本章提要 352

复习题六 353

思考题六 356

第七章 二次曲面 357

第一节 有心二次曲面 357

1.1 椭圆面 357

1.2 单叶双曲面 361

1.3 双叶双曲面 364

习题7.1 367

第二节 无心二次曲面 368

2.1 椭圆抛物面 368

2.2 双曲抛物面 371

习题7.2 373

第三节 直纹二次曲面 374

3.1 单叶双曲面的直纹性 374

3.2 双曲抛物面的直纹性 381

习题7.3 382

第四节 二次曲面的作图 383

4.1 关于在坐标面上对称轴为坐标轴的二次曲线的作图 383

4.2 关于平行于坐标面的平面上且对称轴平行于坐标轴的二次曲线的作图 386

4.3 二次曲面的作图 388

4.4 二次曲面所围空间区域的简图 389

习题7.4 391

第五节 二次曲面标准方程小结 391

习题7.5 394

本章提要 395

复习题七 395

思考题七 397

第八章 二次曲面普遍方程的研究 398

第一节 直线和普遍二次曲面的相关位置 398

习题8.1 402

第二节 平面和普遍二次曲面的相关位置 403

2.1 普遍二次曲面的平截线的性质 403

2.2 二次曲面的切面和法线 403

习题8.2 408

第三节 普遍二次曲面的中心 409

3.1 径平面 409

3.2 中心 411

习题8.3 418

第四节 普遍二次曲面的主方向 419

4.1 主平面 419

4.2 主方向 420

习题8.4 427

第五节 二次曲面普遍方程的化简 427

习题8.5 431

第六节 普遍二次曲面的不变量完全系统 431

6.1 普遍二次曲面的不变量 431

6.2 普遍二次曲面的不变量完全系统 435

习题8.6 439

第七节 化二次曲面的普遍方程为归范方程 440

习题8.7 445

本章提要 446

复习题八 447

思考题八 449

附录 有关代数的一些知识 451

第一节 行列式 451

第二节 矩阵 452

第三节 线性方程组 454

第四节 特征方程 457