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引论 1

第一章 复数 6

1.复数及其运算 6

1.复数概念 6

2.复数的加法与乘法 6

3.复数的减法与除法 8

2.复数和几何表示法·关于模与辐角的定理 9

1.复数的几何表示法 9

3.模与辐角的概念 10

序 10

2.复数的加法与减法的几何意义 10

4.关于模与幅角的定理 11

5.数？的几何表示法 13

6.复数的积与商的几何作图 14

3.极限 15

1.极限理论的基本原则 15

2.极限点概念 17

3.有界的与无界的复数序列 17

4.波尔察诺-维尔斯脱拉斯定理 18

5.复数序列的收敛概念 19

6.极限理论的基本定理 20

7.哥西判别法 20

4.复数球面·无穷远点 22

1.复数在球面上的表示法·无穷远点 22

2.球极投影的公式 23

3.球极投影的基本性质 24

4.保角性 25

1.收敛级数与发散级数的概念 26

5.级数 26

2.收敛级数的一个必要条件 27

3.绝对收敛级数的概念 28

4.级数的加法与减法 29

5.关于二重级数的一个定理 30

6.级数的项的重排 32

7.级数的乘法 33

第一章习题 35

1.复变函数 37

1.复变函数概念 37

第二章 复变数与复变函数 37

2.区域的概念·约当曲线 38

3.复变函数的连续性 41

4.关于一致连续性的定理·海涅-波勒尔预备定理 44

2.函数项级数 46

1.一致收敛级数的概念 46

2.关于级数的和的连续性的定理 49

3.一致收敛级数的判别法 50

1.幂级数的收敛区域的概念 51

3.幂级数 51

2.阿贝尔第一定理 52

3.收敛圆 53

4.上极限的概念 55

5.收敛半径的判定 56

6.幂级数的一致收敛性 60

7.阿贝尔第二定理 61

4.复变函数的微分法·初等函数 64

1.导数概念 64

2.在一个区域内解析的函数的概念 65

3.微分概念 66

4.哥西黎曼条件 67

5.共轭调和函数 71

6.幂级数的微分法 72

7.指数函数、三角函数与双曲线函数 73

8.单叶函数·反函数 78

9.根式、对数函数与反正弦函数 80

10.多值函数的分支·关于支点的概念 82

11.黎曼曲面的概念 89

1.导数的辐角的几何意义 94

5.保角映射 94

2.导数的模的几何意义 97

3.保角映射 97

4.第二类保角映射 98

5.微分的几何意义 101

6.映射w=f(z)的主要部分 102

第二章习题 104

第三章 线性变换与其他的简单变换 107

1.线性函数 107

1.整线性函数 107

2.函数w=？ 108

3.一般线性函数 110

4.线性函数关于圆周的性质 111

5.线性变换的参数与不变量 112

6.把上半平面变成自己的映射 114

7.在线性变换下互相对称的点对的不变性 115

8.把圆变成上半平面的映射 116

9.把圆变成自己的映射 117

10.用对称映射来表示线性变换 118

11.线性变换的不同类型 119

12.重点的性质 123

13.椭圆式变换的几何意义 125

14.把圆变成自己的变换的特征 125

2.线性变换与罗拔切夫斯基几何 127

1.罗拔切夫斯基几何在圆上的欧几里得图像 127

2.给定附标的两点间的非欧距离的计算法 128

3.非欧几里得圆周 129

4.曲线的非欧长度 130

5.非欧几里得面积 130

7.超环 131

6.远环 131

8.罗拔切夫斯基几何在半平面上的欧几里得图像 132

9.圆周的非欧几里得长度 133

10.罗拔切夫斯基几何中的平行角 134

11.圆与三角形的非欧几里得面积 135

3.若干初等函数与这些函数构成的映射 137

1.幂函数与根式 137

2.指数函数与对数函数 141

第三章习题 143

1.复变积分的概念 145

第四章 哥西定理·哥西积分 145

1.复变积分 145

2.复变积分的基本性质 147

3.一致收敛级数的积分法 149

4.哥西定理 150

2.哥西定理 152

1.基本预备定理 152

2.哥西定理证明的简化 154

3.哥西定理的证明 155

4.复数域中的不定积分概念 158

5.哥西定理扩充到复的闭路的情形 161

6.对数函数 163

7.预备定理 167

8.哥西定理的推广 169

3.哥西积分 171

1.哥西公式 171

2.哥西公式扩充到复闭路的情形 172

3.哥西型积分 174

4.区域内解析函数的一切高级导函数的存在性 177

5.摩勒尔定理 178

6.在解析函数理论的建立中的各种不同的观点 179

7.哥西型积分的极限值 180

8.当边界函数满足火伊尔德-立勃希兹条件时哥西型积分的极限值 185

9.波哇松积分 192

第四章习题 195

第五章 解析函数项级数·解析函数的幂级数展开式 198

1.一致收敛的解析函数项级数 198

1.维尔斯脱拉斯第一定理 198

1.维尔斯脱拉斯定理在幂级数上的应用 203

2.戴劳级数 203

2.解析函数的幂级数展开式 205

3.全纯函数的概念以及它与解析函数概念的等价性 208

4.解析函数的唯一性 209

5.最大模原理 213

6.解析函数的零点 216

7.零点的级 217

8.幂级数系数的哥西不等式 217

10.维尔斯脱拉斯第二定理 218

9.里乌威尔定理 218

第五章习题 219

第六章 单值函数的孤立奇异点 221

1.罗朗级数 221

1.解析函数的罗朗展开式 221

2.罗朗级数的正则部分与主要部分 223

3.罗朗展开式的唯一性 224

2.单值函数的奇异点的分类 225

1.孤立奇异点的三种类型 225

3.极点 226

2.可去奇异点 226

4.零点与极点间的联系 227

5.本性奇异点 229

6.函数在孤立奇异点领域内的性质 231

3.解析函数在无穷远点的性质 232

1.无穷远点的领域 232

2.在无穷远点的领域内的罗朗展开式 233

3.函数在无穷远点领域内的性质 234

4.哥西型积分转化成哥西积分的条件 235

1.整函数 236

4.最简单的解析函数族 236

2.半纯函数 237

3.展开有理函数成部分分式 239

4.代数基本定量 239

5.在流体动力学中的应用 239

1.无涡旋且无源泉的流体流动 239

2.流动的特征函数 241

3.绕过圆柱体的无环流流动 242

5.一般情形 245

4.纯环流 245

第六章习题 247

第七章 残数理论 251

1.残数的一般理论 251

1.函数关于孤立奇异点的残数 251

2.关于残数的基本定理 252

3.函数关于极点的残数之计算 253

4.函数关于无穷远点的残数 254

5.积分？dz的计算 256

1.代数基本定理 259

2.残数理论的应用 259

2.儒歇定理 260

3.残数理论在定积分计算上的应用 262

4. ctgz展开成简单分式 267

第七章习题 270

第八章 毕卡定理 272

1.布洛赫定理 272

1.关于全纯函数的反函数的定理 272

2.布洛赫定理的证明 273

1.朗道定理的证明 275

2.朗道定理 275

2.毕卡的小定理 277

3.夏特基不等式 278

1.夏特基不等式的导出 278

2.广义夏特基不等式 280

4.毕卡的一般定理 281

第八章习题 282

1.无穷乘积 283

1.收敛的与发散的无穷乘积 283

第九章 无穷乘积与它对解析函数的应用 283

2.无穷乘积收敛性的基本判别法 285

3.全纯函数的无穷乘积表示法 289

2.无穷乘积在整函数理论上的应用 290

1.维尔斯脱拉斯公式 290

2.整函数的无穷乘积表示法 294

3.把半纯函数表作两个整函数之比 296

4.米他格-列夫勒问题 296

3.解析函数唯一性定理的推广 297

1.解析函数唯一性定理可能的推广 297

2.雅可比与靳生公式 298

3.唯一性定理的证明 300

4.对有界函数来说唯一性定理再进一步推广的不可能性 302

第九章习题 304

第十章 解析开拓 306

1.解析开拓的原理 306

1.解析开拓的概念 306

2.维尔斯脱拉斯意义下的完全解析函数的概念 308

3.按照解析开拓原理在复数域上扩充实变函数 311

1.单值函数的例 312

2.例 312

2.多值函数的例 313

第十章习题 314

第十一章 椭圆函数理论初步 316

1.椭圆函数的一般性质 316

1.椭圆函数的定义 316

2.周期平行四边形 317

3.基本定理 318

4.二级椭圆函数 323

2.维尔斯脱拉斯函数 326

1.预备定理 327

2.函数σ，ζ与？ 328

3.任意椭圆函数的简单分析表示法 335

1.把椭圆函数表成一些简单基元之和 335

2.把椭圆函数表成基本因子的乘积之比 337

4.函数σκ 339

5.雅可比椭圆函数 342

1.整周期函数的展开式 345

6.西他函数 345

2.函数θ 347

3.函数θκ 350

4.西他函数的性质 353

7.用西他函数表示雅可比椭圆函数 357

8.雅可比椭圆函数的加法公式 359

第十一章习题 361

第十二章 保角映射理论的一般原则 364

1.确定保角映射的条件 364

1.把单位圆变成它自己的映射 364

2.确定保角映射的唯一性的条件 366

2.保角映射理论的基本原则 368

1.保存区域的原则 368

2.双方单值对应的原则 373

3.黎曼-希瓦尔兹对称原则 374

4.对称原则的推广 380

5.解析开拓的希瓦尔兹原则 381

6.调和函数的对称原则 382

7.对称原则的应用 385

1.把圆|z|〈1变到一个内部区域的全纯函数的解析表达式 386

3.把单位圆变到一个内部区域的一般变换 386

2.希瓦尔兹预备定理 389

3.应用希瓦尔兹预备定理来估计满足这个定理的条件的那些函数的导函数 392

4.希瓦尔兹预备定理的一般形式 393

5.变换的重点的存在性 395

4.解析函解的唯一性 396

1.由边界值来确定解析函数的唯一性 396

2.唯一性定理的推广 398

5.把二次曲线所包围的区域变成上半平面的保角映射 399

1.等轴双曲线 399

2.抛物线 400

3.双曲线与椭圆 405

4.把椭圆内部变成半平面的映射 410

6.单连通区域的保角映射 412

1.黎曼定理提法的化简 413

2.辅助函数及其基本性质 415

3.基本预备定理 416

4.黎曼定理的证明 417

7.在保角映射下边界的对应关系 419

1.问题的提法 421

2.关于边界对应的定理的证明 422

8.把矩形与任意多角形变成上半平面的映射 426

1.矩形 426

2.雅可比椭圆函数 431

3.多角形 433

4.三角形 439

5.把多角形的外部变成上半平面的映射 443

第十二章习题 444

1.内部面积定理 447

1.系数问题 447

第十三章 单叶函数的一般性质 447

2.外部面积定理 449

3.在单叶函数展开式中含z2项系数的模的上界 450

4.柯北常数 451

5.变形定理 452

6.单叶函数的模的界限 453

7.旋转定理 455

8.单叶函数展开式中系数的模的一般界限 456

9.在单叶函数展开式中实系数的模的共同界限 457

1.凸性界限 459

2.凸性界限与星性界限 459

2.星性界限 460

3.构成把单位圆变成特殊区域的单叶保角映射的函数的性质 461

1.星形函数与凸函数 461

2.凸函数与星形函数的展开式中系数的模的上界 462

4.把区域映射成圆的函数的极值问题 464

1.预备定理 464

2.第一极值问题 466

3.第二极值问题 468