复变函数论 第2版PDF电子书下载

引言 1

第一章 复数与复变函数 3

1. 复数 3

1. 复数域 3

2. 复平面 5

3. 复数的模与辐角 6

4. 复数的乘幂与方根 12

5. 共轭复数 15

6. 复数在几何上的应用举例 17

1. 平面点集的几个基本概念 19

2. 复平面上的点集 19

2. 区域与约当曲线 20

3. 复变函数 25

1. 复变函数的概念 25

2. 复变函数的极限与连续性 29

4. 复球面与无穷远点 34

1. 复球面 34

2. 扩充复平面上的几个概念 35

第一章习题 37

1. 复变函数的导数与微分 43

第二章 解析函数 43

1. 解析函数的概念与柯西-黎曼条件 43

2. 解析函数及其简单性质 45

3. 柯西-黎曼条件 47

2. 初等解析函数 54

1. 指数函数 54

2. 三角函数与双曲函数 56

3. 初等多值函数 60

1. 根式函数 60

2. 对数函数 69

3. 一般幂函数与一般指数函数 74

4. 具有多个有限支点的情形 76

5. 反三角函数与反双曲函数 82

第二章习题 85

第三章 复变函数的积分 92

1. 复积分的概念及其简单性质 92

1. 复变函数积分的定义 92

2. 复变函数积分的计算问题 95

3. 复变函数积分的基本性质 96

1. 柯西积分定理 99

2. 柯西积分定理 99

2. 柯西积分定理的古莎证明 101

3. 不定积分 107

4. 柯西积分定理的推广 111

5. 柯西积分定理推广到复围线的情形 113

3. 柯西积分公式及其推论 115

1. 柯西积分公式 115

2. 解析函数的无穷可微性 118

3. 柯西不等式与刘维尔定理 121

4. 摩勒拉定理 123

5. 柯西型积分 124

4. 解析函数与调和函数的关系 125

5. 平面向量场--解析函数的应用(一) 130

1. 流量与环量 131

2. 无源、漏的无旋流动 132

3. 复势 133

第三章习题 135

第四章 解析函数的幂级数表示法 141

1. 复级数的基本性质 141

1. 复数项级数 141

2. 一致收敛的复函数项级数 144

3. 解析函数项级数 146

2. 幂级数 147

1. 幂级数的敛散性 147

2. 收敛半径的求法、柯西-阿达玛公式 150

3. 幂级数和的解析性 151

3. 解析函数的泰勒展式 152

1. 泰勒定理 152

2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 155

3. 一些初等函数的泰勒展式 157

4. 解析函数零点的孤立性及唯一性定理 163

1. 解析函数零点的孤立性 164

2. 唯一性定理 166

3. 最大模原理 169

第四章习题 171

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 177

1. 解析函数的罗朗展式 177

1. 双边幂级数 177

2. 解析函数的罗朗展式 178

3. 罗朗级数与泰勒级数的关系 181

4. 解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式 183

2. 解析函数的孤立奇点 186

1. 孤立奇点的三种类型 186

2. 可去奇点 187

3. 席瓦尔兹引理 188

4. 板点 190

5. 本性奇点 192

6. 毕卡定理 192

3. 解析函数在无穷远点的性质 196

1. 整函数 201

4. 整函数与亚纯函数的概念 201

2. 亚纯函数 202

5. 平面向量场--解析函数的应用(二) 204

1. 奇点的流体力学意义 204

2. 在电场中的应用举例 206

第五章习题 209

第六章 残数理论及其应用 216

1. 残数 216

1. 残数的定义及残数定理 216

2. 残数的求法 218

3. 函数在无穷远点的残数 222

2. 用残数定理计算实积分 225

1. 计算∫？R(cosθ，sinθ)dθ型积分 225

2. 计算∫？dx型积分 230

3. 计算∫？eimxdx型积分 234

4. 计算积分路径上有奇点的积分 237

5. 杂例 238

6. 应用多值函数的积分 242

3. 辐角原理及其应用 250

1. 对数残数 250

2. 辐角原理 252

3. 儒歇定理 256

第六章习题 260

第七章 保形变换 268

1. 解析变换的特性 268

1. 解析变换的保域性 268

2. 解析变换的保角性--导数的几何意义 269

3. 单叶解析变换的保形性 273

2. 线性变换 276

1. 线性变换及其分解 276

2. 线性变换的保形性 280

3. 线性变换的保交比性 281

4. 线性变换的保圆周(圆)性 283

5. 线性变换的保对称点性 284

6. 线性变换的应用 286

3. 某些初等函数所构成的保形变换 291

1. 幂函数与根式函数 291

2. 指数函数与对数函数 294

3. 由圆弧构成的两角形区域的保形变换 295

4. 机翼剖面函数及其反函数所构成的保形变换 297

5. 儒可夫斯基函数的单叶性区域 301

4. 关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理 302

1. 黎曼存在定理 302

2. 边界对应定理 305

第七章习题 307

第八章 解析开拓 314

1. 解析开拓的概念与幂级数开拓 314

1. 解析开拓的概念 314

2. 解析开拓的幂级数方法 318

1. 透弧直接解析开拓 324

2. 透弧解析开拓、对称原理 324

2. 黎曼--席瓦尔兹对称原理 325

3. 完全解析函数及黎曼面的概念 331

1. 完全解析函数 331

2. 单值性定理 332

3. 黎曼面概念 336

4. 多角形区域的保形变换 341

1. 克利斯托弗-席瓦尔兹公式 341

2. 退化情形 346

3. 广义多角形举例 350

第八章习题 353

第九章 调和函数 358

1. 平均值定理与极值原理 358

1. 平均值定理 358

2. 极值原理 359

2. 波阿松积分公式与狄利克莱问题 360

1. 波阿松积分公式 360

2. 狄利克莱问题 361

3. 单位圆内狄利克莱问题的解 362

4. 上半平面内狄利克莱问题的解 365

第九章习题 368