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前言页 1

前言 1

绪论 1

1.数值线性代数的基本问题 1

2.研究数值方法的必要性 2

3.矩阵分解是设计算法的主要技巧 4

4.敏度分析与误差分析 4

5.算法复杂性与收敛速度 6

6.算法的软件实现与现行数值线性代数软件包 7

7.符号说明 8

第一章 线性方程组的直接解法 11

1.1.1 三角形方程组的解法 12

1.1 三角形方程组和三角分解 12

1.1.2 Gauss变换 14

1.1.3 三角分解的计算 16

1.2 选主元三角分解 20

1.3 平方根法 27

1.4 分块三角分解 33

习题 35

上机习题 39

第二章 线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析 41

2.1 向量范数和矩阵范数 41

2.1.1 向量范数 41

2.1.2 矩阵范数 43

2.2 线性方程组的敏度分析 51

2.3 基本运算的舍入误差分析 55

2.4 列主元Gauss消去法的舍入误差分析 62

2.5 计算解的精度估计和迭代改进 67

2.5.1 精度估计 67

2.5.2 迭代改进 71

习题 72

上机习题 74

第三章 最小二乘问题的解法 76

3.1 最小二乘问题 76

3.2 正交变换 84

3.2.1 Householder变换 84

3.2.2 Givens变换 89

3.3 正交化方法 91

习题 96

上机习题 98

第四章 线性方程组的古典迭代解法 100

4.1 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代 101

4.1.1 Jacobi迭代 101

4.1.2 Gauss-Seidel迭代 102

4.2 Jacobi与G-S迭代的收敛性分析 102

4.2.1 收敛的充分与必要条件 102

4.2.2 收敛的充分条件及误差估计 105

4.3 收敛速度 117

4.3.1 平均收敛速度和渐近收敛速度 117

4.3.2 模型问题 119

4.3.3 Jacobi和G-S迭代的渐近收敛速度 121

4.4.1 迭代格式 123

4.4 超松弛迭代法 123

4.4.2 收敛性分析 124

4.4.3 最佳松弛因子 125

4.4.4 渐近收敛速度 130

4.4.5 超松弛理论的推广 130

习题 134

上机习题 137

第五章 共轭梯度法 139

5.1 最速下降法 139

5.2 共轭梯度法及其基本性质 144

5.2.1 共轭梯度法 144

5.2.2 基本性质 147

5.3.1 实用共轭梯度法 150

5.3 实用共轭梯度法及其收敛性 150

5.3.2 收敛性分析 151

5.4 预优共轭梯度法 153

5.5 Krylov子空间法 157

5.5.1 正则化方法 157

5.5.2 残量极小化方法 157

5.5.3 残量正交化方法 158

习题 158

上机习题 160

第六章 非对称特征值问题的计算方法 161

6.1 基本概念与性质 161

6.2 幂法 165

6.3 反幂法 169

6.4.1 基本迭代与收敛性 174

6.4 QR方法 174

6.4.2 实Schur标准形 177

6.4.3 上Hessenberg化 178

6.4.4 带原点位移的QR迭代 184

6.4.5 双重步位移的QR迭代 185

6.4.6 隐式QR算法 192

习题 194

上机习题 200

第七章 对称特征值问题的计算方法 202

7.1 基本性质 202

7.2 对称QR方法 204

7.2.1 三对角化 204

7.2.2 隐式对称QR迭代 206

7.2.3 隐式对称QR算法 209

7.3 Jacobi方法 210

7.3.1 经典Jacobi方法 210

7.3.2 循环Jacobi方法及其变形 215

7.3.3 Jacobi方法的并行方案 217

7.4 二分法 218

7.5 分而治之法 224

7.5.1 分割 225

7.5.2 胶合 226

习题 232

上机习题 236

参考文献 237