近世实分析基础PDF电子书下载

1 集和集类 1

1.1 集、点和类的概念 1

1.2 点、集和类的逻辑关系 3

1.3 集的基本运算 5

1.4 集合的势 11

1.5 几个重要的集类 23

习题 33

2 最小集类 35

2.1 最小集类的定义 35

2.2 最小域的构造 37

2.3 最小类方法与λ-π类方法 40

2.4 直线上的开集、闭集与波勒尔集 46

2.5 完备集与康托集 55

2.6 可测空间与波勒尔可测空间 58

2.7 n 维欧氏空间 60

习题 62

3 σ 域上测度的构造 64

3.1 测度的定义及其基本性质 64

3.2 外测度 70

3.3 测度的拓展 75

3.4 测度的完全化 79

3.5 直线上的勒贝格-司蒂阶测度 85

3.6 勒贝格测度的特性与不可测集 91

习题 103

4 可测函数的性质与?系方法 107

4.1 映射及像集的定义与基本性质 107

4.2 逆像及其基本性质 109

4.3 可测函数的定义及其基本性质 112

4.4 ?系方法 117

4.5 可测函数的几乎处处概念 123

4.6 勒贝格可测函数的特性 127

习题 129

5.1 几乎处处收敛 132

5 可测函数列的收敛 132

5.2 测度收敛 141

5.3 分布收敛 148

5.4 勒贝格可测函数与连续函数的关系 156

习题 163

6 积分 167

6.1 积分的定义 167

6.2 积分的基本性质 171

6.3 积分号与极限号的交换 177

6.4 矩及其基本性质 188

6.5 Υ 级平均收敛 194

习题 206

7 直线上的勒贝格-司蒂阶积分 210

7.1 勒贝格积分与黎曼积分的关系 210

7.2 黎曼可积函数与连续函数的关系 223

7.3 R-S 积分与 L-S 积分 232

7.4 积分转化定理 236

7.5 海来-布勒定理 242

习题 251

8 乘积测度空间 254

8.1 截口集与函数的定义及基本性质 254

8.2 二维乘积可测空间 260

8.3 二维独立乘积测度的构造 263

8.4 重积分与傅比尼定理 267

8.5 无穷维独立乘积测度空间 275

8.6 高维分布函数与 L-S 测度 281

8.7 无穷维一般乘积测度空间的柯尔莫戈洛夫定理 285

习题 288

9 广义测度 294

9.1 广义测度的定义及其基本性质 294

9.2 广义测度的若当-哈恩分解 298

9.3 广义测度的绝对连续与广义导数 303

9.4 广义测度的勒贝格分解 318

9.5 分布函数的分解 321

9.6 有界变差与绝对连续函数 326

9.7 勒贝格积分与微分的关系 334

习题 350

10 距离空间 356

10.1 定义及常见实例 356

10.2 收敛的定义及性质 362

10.3 开集和闭集 366

10.4 连续映射 369

10.5 可分性概念 374

10.6 完备性概念 376

10.7 列紧性与紧性 380

10.8 不动点原理及其应用 389

习题 396

11 巴拿赫空间与希尔伯特空间 402

11.1 线性空间 402

11.2 线性赋范空间及巴拿赫空间的定义及基本性质 407

11.3 有界线性算子与有界线性泛函 416

11.4 有界线性算子空间 419

11.5 内积空间与希尔伯特空间的定义及基本性质 426

11.6 希尔伯特空间的正交分解与投影定理 431

习题 439

参考文献 445

汉英名词索引 447