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第一章 预备知识 1

1. 向量代数复习 1

2. 向量函数与曲线的参数表示 12

3. 向量函数的求导与曲线的切线 15

4. 向量函数的积分 19

第一章复习题 25

第二章 曲线论 29

1. 曲线的概念与弧长 29

2. 曲线的基本三棱形 42

3. 曲率与挠率 53

4. 曲线论基本公式--弗朗内公式 61

5. 曲线一点附近的结构 69

6. 曲线论基本定理 74

6.1 曲线的存在唯一性定理 74

6.2 一般螺线与贝特朗(Bertrand)曲线 80

7. 平面曲线 85

7.1 平面曲线的相对曲率 85

7.2 平面曲线的渐缩线与渐伸线 92

第二章复习题 103

第三章 曲面的第一基本形式 108

1. 曲面的概念 108

2. 切平面与法向量 117

3. 曲面的第一基本形式 126

4. 等距对应与等角对应 142

第三章复习题 156

第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率 159

1. 曲面的第二基本形式 159

2. 曲面的基本公式 169

3. 法曲率 179

4. 主曲率、曲率线与杜潘(Dupin)标线 187

4.1 主方向与主曲率 187

4.2 曲率线与欧拉(Euler)公式 191

4.3 杜潘(Dupin)标线 196

5. 渐近方向与共轭方向 200

6. 高斯(Gauss)曲率与中曲率 205

7. 可展曲面与单参数曲面族的包络 209

8. 极小曲面 222

9. 高欺映射与曲面的第三基本形式 231

第四章复习题 238

第五章 曲面论的基本定理 243

1. 曲面论基本方程 243

2. 曲面论基本定理 258

第五章复习题 268

第六章 曲面的内在几何 270

1. 测地曲率 270

2. 测地线与弧长的第一变分 278

3. 高斯曲率为常数的曲面 294

4. 高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式 303

5. 曲面上向量场的平行移动 313

第六章复习题 324

习题答案 329