微分几何及其应用PDF电子书下载

第一章 向量函数 1

1 向量代数 1

1-1 基本概念 1

1-2 向量的代数运算 2

1-3 一些常用的结论和计算公式 5

2 直线与平面 6

3 向量函数 8

3-1 向量函数的概念 8

3-2 向量函数的极限 9

3-3 向量函数的连续性 11

3-4 向量函数的微商 11

3-5 向量函数的泰勒公式 14

3-6 向量函数的积分 16

4 几种具有特殊性质的向量函数 19

第二章 曲线的局部理论 22

1 曲线的基本概念 22

1-1 曲线的基本概念 22

1-2 光滑曲线与正则曲线 23

1-3 曲线的弧长与自然参数 26

2 曲线的基本三棱形 31

2-1 曲线的切线与法面 31

2-2 曲线的密切面与副法线 34

2-3 曲线的基本三棱形 37

3 空间曲线论的基本公式 42

3-1 空间曲线的曲率 42

3-2 空间曲线的挠率 45

3-3 空间曲线论的基本公式 47

3-4 空间曲线在一点邻近的结构 50

4 空间曲线论基本定理 54

第三章 特殊曲线 60

1 平面曲线 60

2 柱面螺线 63

3 曲线的渐伸线与渐缩线 65

3-1 曲线的渐伸线 65

3-2 曲线的渐缩线 67

4 贝特朗曲线 68

第四章 曲面的第一基本形式 73

1 基本概念 73

1-1 曲面的定义与方程 73

1-2 参数变换 77

1-3 曲面上的曲线 78

1-4 曲面的切平面和法线 81

1-5 曲面的定向 84

2 第一基本形式 85

2-1 第一基本形式 85

2-2 曲面上曲线的弧长 87

2-3 曲面上曲线的交角 88

2-4 曲面上的正交曲线网 90

2-5 曲面域的面积、内蕴量和内蕴性 91

3 曲面间的映射 93

3-1 映射的概念 93

3-2 等距映射 94

3-3 等角映射 96

第五章 曲面的第二基本形式 101

1 第二基本形式 101

2 法曲率 104

3 杜潘标线 渐近方向 共轭方向 主方向 108

3-1 杜潘标线 108

3-2 渐近方向、共轭方向、主方向 109

3-3 主曲率、高斯曲率、平均曲率 113

4 曲面上的特殊曲线与曲线网 116

4-1 渐近曲线、渐近曲线网、共轭曲线网 116

4-2 曲率线与曲率线网 118

5 曲面在一点邻近的结构 121

6 高斯映射与第三基本形式 123

6-1 高斯映射、第三基本形式 123

6-2 高斯曲率的几何意义 125

第六章 曲面论的基本定理 128

1 曲面的基本公式 129

2 曲面的基本方程 134

2-1 曲面基本方程的推导 134

2-2 高斯曲率的内蕴性质 137

3 曲面论基本定理的证明 142

第七章 曲面上的测地线 149

1 曲面上曲线的测地曲率 149

1-1 测地曲率的概念 149

1-2 测地曲率的计算公式 151

2 曲面上的测地线 155

2-1 测地线及其性质 155

2-2 测地线的方程 156

2-3 曲面上的半测地坐标网 159

2-4 曲面上测地线的短程性 161

3 测地挠率 163

3-1 测地挠率 164

3-2 曲面曲线的一种动标三棱形 165

4 曲面上向量的平行移动 167

4-1 曲面上的向量场与绝对微分 167

4-2 平行向量场 170

4-3 向量的平行移动 172

5 高斯-波涅公式 176

第八章 特殊曲面 181

1 可展曲面 181

1-1 直纹面 181

1-2 可展曲面及其分类 182

1-3 可展曲面作为单参数平面族的包络面 184

1-4 可展曲面的重要定理和有关命题 189

2 极小曲面 194

2-1 极小曲面的定义与有关性质 194

2-2 极小曲面的几何特征 197

3 具有常高斯曲率的曲面 201

3-1 常高斯曲率曲面 201

3-2 伪球率曲面、伪球面 203

3-3 伪球率曲面上的测地圆 207

3-4 罗氏几何 209

第九章 外微分形式与活动标架 213

1 外形式与外代数 213

1-1 格拉斯曼外代数 213

1-2 外微分形式 217

1-3 发甫方程与可积条件 222

2 变换群与活动标架 223

2-1 合同变换与标架 223

2-2 合同变换群与微分不变式 225

2-3 相对分量与结构方程 226

2-4 活动标架基本定理 230

3 活动标架法的应用 231

3-1 曲线论基本公式 231

3-2 曲面的结构方程 232

3-3 曲面的基本形式 233

3-4 法曲率与测地曲率 234

3-5 主曲率与欧拉公式 235

3-6 向量的平行移动 237

3-7 高斯-波涅定理 239

第十章 曲线与曲面的整体性质 243

1 平面曲线的整体性质 243

1-1 闭曲线的全曲率 243

1-2 旋转指标 245

1-3 等周不等式 247

1-4 凸曲线 249

1-5 卵形线 251

1-6 等宽曲线 252

1-7 平面直线集的测度与应用 253

2 空间曲线的整体性质 257

2-1 定向大圆集的测度 257

2-2 简单闭曲线的全曲率 259

2-3 有结曲线的全曲率 262

2-4 球面闭曲线的全挠率 264

3 简单曲面与卵形面 266

3-1 简单曲面与光滑曲面 266

3-2 定向曲面与紧致曲面 268

3-3 凸曲面与卵形面 270

3-4 刚性曲面与 W 曲面 271

3-5 极小曲面与唯一性问题 279

4 紧致曲面与示性数 281

4-1 亏格与示性数 281

4-2 高斯-波涅定理 283

4-3 向量场的奇点与指标 286

4-4 线素场与映射度 289

第十一章 应用微分几何简介 296

1 应用曲线论 296

1-1 向量工具的应用 296

1-2 数控切割与偏差比较 297

1-3 发动机缸体的新型线 298

1-4 变压器铁芯设计 300

1-5 环状 DNA 分子的勾数与拧数 301

1-6 曲线的拟合与设计 303

2 应用曲面论 309

2-1 蜗杆齿面与斜齿面 309

2-2 齿轮啮合 310

2-3 管道交线 313

2-4 外板展开 314

2-5 曲面的拟合与设计 316

习题答案、提示与解答 324