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引言 1

一、实数理论 7

1.从有理数集谈起 7

2.戴德金分划 9

3.实数系的序结构 11

4.确界存在定理 11

5.？·？=？的证明 13

6.实数系的戴德金性质 15

二、极限论 16

1.关于序列极限 16

2.柯西收敛准则 19

3.一元函数 21

4.函数极限概念 21

三、连续性概念 23

1.连续性概念 24

3.复合函数的连续性 25

2.一点处的连续性 25

4.三个基本命题 26

5.连续模数 27

6.一致连续性定理 28

四、微积分主题浅释 29

1.主题简释 29

2.柯西的积分概念 31

3.积分中值定理 34

4.积分学基本定理 34

5.微分中值定理 36

五、微商与微分 37

1.微分与导数的关系 37

2.多元函数 39

3.连续映射 40

4.可微映射 41

5.泰勒展开定理 42

6.多元泰勒公式 44

1.闭区间与开集 45

六、黎曼积分及其推广 45

2.有界函数的黎曼积分 46

3.黎曼可积的充要条件 48

4.开集上的黎曼积分 50

5.黎曼积分的一个推广 52

6.有界变差函数的积分 54

7.广义积分 55

七、函数级数 57

1.阿贝尔的反例 57

2.一致收敛性概念 59

3.连续函数的级数连续性定理 61

4.逐项积分定理 62

5.逐项求导定理 62

6.级数连续性的充要条件 63

1.一点历史回顾 65

八、非标准分析大意 65

2.非标准分析的特点 67

3.关于R的高桥模型 68

4.超滤集的存在性 70

5.超滤集的作用 72

6.等价性概念与超幂R 73

7.三分律及其验证 74

8.作为有序域的R 75

9.R中的非标准实数 76

10.有限数的结构定理 76

11.有限数的标准部分 78

12.牛顿“流数术”的重新解释 79

13.扩张与对应置换 79

14.微商概念 81

15.等和原理 81

16.积分概念及积分学基本定理 82