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第一章 矩阵理论和不变性 1

1．1 定义 1

1．1．1 矩阵 1

1．1．2 行列式 3

1．1．3 逆矩阵 4

1．1．4 矩阵的分块 4

1．1．5 矩阵的秩 6

1．1．6 矩阵的迹 6

1．1．7 特征根和特征向量 7

1．1．8 正定阵 8

1．1．9 投影矩阵 9

1．2 矩阵的因子分解 9

1．3 矩阵的广义逆 12

1．4 “向量化”算子和Kronecker积 15

1．4．1 “向量化”算子 15

1．4．2 Kronecker积 16

1．4．3 置换矩阵 18

1．5．1 矩阵关于标量的导数 20

1．5 矩阵的导数和矩阵微分 20

1．5．2 矩阵的标量函数关于矩阵的导数 21

1．5．3 向量的导数 24

1．5．4 矩阵微分 26

1．6 变换的雅可比行列式的计算 28

1．7 群与不变性 34

参考文献 40

练习1 40

2．1．1 多元累积分布函数 44

2．1．2 密度 44

2．1 多元分布 44

第二章 椭球等高分布 44

2．1．3 边缘分布 45

2．1．4 条件分布 46

2．1．5 独立性 46

2．1．6 特征函数 47

2．1．7 ？运算 48

2．2 多元分布的矩 52

2．3 多元正态分布 55

2．4 Dirichlet分布 61

2．5．1 均匀分布及其随机表示 70

2．5 球对称分布 70

2．5．2 密度 77

2．5．3 Ф∞类 79

2．5．4 不变分布 82

2．6 椭球等高分布 84

2．6．1 随机表示 84

2．6．2 组合与边缘分布 86

2．6．3 矩 86

2．6．4 条件分布 88

2．6．5 密度 91

2．7 正态性的刻划 94

2．8 二次型分布和Cochran定理 97

2．8．1 二次型分布 97

2．8．2 对于正态情形的Cochran定理 100

2．8．3 对于椭球等高分布情形的Cochran定理 105

2．9 一些非中心分布 107

2．9．1 广义非中心X2分布 107

2．9．2 广义非中心t分布 112

2．9．3 广义非中心F分布 114

参考文献 116

练习2 117

第三章 球对称矩阵分布 122

3．1 引言 122

3．1．1 左球分布 122

3．1．2 球对称分布 126

3．1．3 多元球对称分布 127

3．1．4 向量球对称分布 128

3．2 球对称矩阵分布族之间的关系 128

3．2．1 包含关系 129

3．2．2 边缘分布的族 130

3．2．3 坐标系 134

3．2．4 密度 135

3．3 椭球等高矩阵分布 137

3．4 二次型分布 139

3．4．1 W的密度 140

3．4．2 Cochran定理的多元推广 146

3．5 与球对称矩阵分布有关的一些分布 147

3．5．1 矩阵Beta分布 147

3．5．2 矩阵Dirichlet分布 150

3．5．3 矩阵t分布 151

3．5．4 矩阵F分布 153

3．5．5 一些逆矩阵变量分布 154

3．5．6 矩阵变量特征根的分布 157

3．6 球对称矩阵分布的广义Bartlett分解和谱分解 158

3．6．1 坐标变换 158

3．6．2 广义Bartlett分解 162

3．6．3 谱分解 164

参考文献 169

练习3 169

4．1 均值向量和协差阵的极大似然估计 174

4．1．1 VSnxp（μ，∑，f）中的μ和∑的极大似然估计 174

第四章 参数估计 174

4．1．2 例 178

4．1．3 LSnxp（μ，∑，f）和SS nxp（μ，∑，f）中的μ和∑的极大似然估计 180

4．1．4 参数函数的极大似然估计 181

4．2 一些估计量的分布 185

4．2．1 联合密度 185

4．2．2 边缘密度 187

4．2．3 ?和s的独立性 188

4．2．4 样本相关系数的分布 188

4．3 ？和？的性质 189

4．3．1 无偏性 190

4．3．3 完全性 191

4．3．2 充分性 191

4．3．4 相容性 193

4．4 ？和？的极小极大与可容许性 195

4．4．1 ？作为μ的估计量的不可容许性 198

4．4．2 关于∑的估计的讨论 203

4．4．3 μ的极小极大估计 207

参考文献 209

练习4 210

5．1 分布自由统计量 212

第五章 假设检验 212

5．2 关于均值向量的假设检验 216

5．2．1 似然比准则 216

5．2．2 检验均值向量等于一个指定的向量 216

5．2．3 T2分布 218

5．2．4 T2检验与检验的不变性 220

5．2．5 检验具有相等的未知协差阵的几个均值的相等 224

5．3 对协方差阵的检验 228

5．3．1 球性检验 228

5．3．2 几个协方差阵的相等 229

5．3．3 同时检验几个均值和协方差阵的相等 232

5．3．4 检验变量集合间缺乏相关性 234

5．4 关于似然比检验的一个注记 238

5．5 稳健的不变检验 241

5．5．1 球对称性的稳健检验 241

5．5．2 多元检验 244

5．6 椭球对称性的拟合优度检验 250

5．6．1 球对称性的特征 250

5．6．2 球对称性的显著性检验（I） 253

5．6．3 球对称性的显著性检验（II） 255

5．6．4 椭球对称性的显著性检验 256

参考文献 257

练习5 257

第六章 线性模型 259

6．1 定义和例 259

6．1．1 定义 259

6．1．2 回归模型 259

6．1．3 方差分析模型 260

6．1．4 判别分析 261

6．2．1 最小二乘估计 262

6．2 最优线性无偏估计 262

6．2．2 最优线性无偏估计 263

6．2．3 正则性 264

6．2．4 模型的变异 265

6．3 方差分量 269

6．3．1 最小二乘法 269

6．3．2 不变二次无偏估计（IQUE） 270

6．3．3 极小二次无偏估计 271

6．4 假设检验 273

6．4．1 线性假设 273

6．4．2 标准形式 274

6．4．3 预检验估计和James-Stein估计 278

6．5 应用 279

6．5．1 双重筛选逐步回归方法（DSSR方法） 279

6．5．2 例 282

6．5．3 判别分析和回归 286

参考文献 291

练习6 291

参考文献 293

索引 299