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第一部分 偏微分方程初步 1

1. 定义与例子 1

2. 波动方程 3

2.1 一维波动方程——弦振动方程的建立 3

2.2 定解条件的提出 5

2.3 分离变量法 7

2.4 强迫振动，非齐次方程的求解 16

2.5 非齐次边界条件的处理 18

2.6 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法 24

3. 热传导方程 26

3.1 热传导方程的建立 27

3.3 混合问题的富里哀解法 29

3.2 定解条件 29

4. 拉普拉斯方程 33

4.1 定解问题的提法 34

4.2 富里哀解法 35

5. 薛定谔方程 41

5.1 薛定谔方程的重要性 41

5.2 方程的形式与求解的困难性 42

5.3 解决困难的方法：量子化学的方法 43

5.4 三维自由粒子体系薛定谔方程的分离变量解法 44

5.5 类氢离子薛定谔方程的分离变量解法 48

附录 63

（1）二维拉普拉斯方程？2u/？x2+？2u/？y2=0转换成极坐标形式 63

（2）拉普拉斯算符？2/？x2+？2/？y2+？2/？z2转换成球坐标形式 64

习题一 69

第二部分 线性代数 77

1. n阶行列式 77

1.1 n阶行列式的定义 77

1.2 行列式的性质 81

1.3 克莱姆法则 90

2. 矩阵的概念及其运算 94

2.1 矩阵的概念 94

2.2 矩阵的加减以及数与矩阵相乘 98

2.3 矩阵的乘法 99

2.4 矩阵乘积的行列式 105

2.5 方阵的迹 107

3.1 逆矩阵的求法及性质 108

3. 逆矩阵 108

3.2 逆矩阵与解线性方程组的关系 112

4. 几种常见的特殊矩阵 114

4.1 正交矩阵 114

4.2 U矩阵和H矩阵 118

4.3 对角矩阵和准对角矩阵 122

5. 矩阵的初等变换和矩阵的秩 126

6. 线性空间 135

7. 线性方程组 144

8. 相似矩阵与矩阵特征值 159

8.1 相似矩阵 159

8.2 矩阵的特征值 161

9. 线性方程组的数值解法 178

9.1 高斯消去法 178

9.2 主元消去法 184

9.3 叠代法 188

习题二 199

第三部分 概率论 217

1. 随机事件及其概率 217

1.1 随机事件 218

1.2 事件的关系与运算 219

1.3 概率的概念 225

1.4 概率的乘法定理 234

1.5 全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式 240

1.6 独立重复试验 243

2.1 随机变量 245

2. 随机变量及其分布 245

2.2 离散型随机变量及其概率分布 247

2.3 随机变量的分布函数 250

2.4 连续型随机变量及其概率密度 255

2.5 随机变量的独立性 258

2.6 频率直方图与频率分布 259

3. 几种常用的分布 262

3.1 二项分布 262

3.2 普阿松分布 263

3.3 均匀分布 266

3.4 指数分布 267

3.5 马克斯威尔分布 267

3.6 正态分布 268

4.1 数学期望 274

4. 随机变量的数字特征 274

4.2 方差 281

4.3 随机变量的标准化和契比雪夫不等式 289

5. 大数定律和中心极限定理 291

5.1 大数定律 291

5.2 中心极限定理 294

习题三 298

附表：标准正态分布函数的数值表 309

第四部分 群论初步 311

1. 群的定义和基本概念 311

1.1 群的定义 311

1.2 群的乘法表 314

1.3 子群 317

1.4 共轭、类 318

1.5 同构和同态 321

2. 点群 325

2.1 对称元素和对称操作 325

2.2 对称操作集合构成的群——点群 330

3. 群的表示 335

3.1 对称操作与矩阵 335

3.2 群的表示 337

3.3 可约表示与不可约表示 348

3.4 等价与不等价表示 352

3.5 群表示的特征标 354

3.6 广义正交定理及其推论 356

3.7可约表示的分解 362

习题四 364