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第一章 复数和复函数 1

1.1 复数 1

1.复数域 1

前言页 1

2.复数的几何表示 2

3.球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面 6

习题1.1 7

1.复变函数概念 9

2.复变函数的极限与连接性 9

1.2 复变函数 9

3.同伦概念和区域的连通性 11

4.幅角函数 14

习题1.2 19

1.3 复数列和复级数 21

1.复数列和复数项级数 21

2.复函数列和复函数项级数 22

习题1.3 22

第一章习题 23

1.导数及其几何意义 25

第二章 解析函数基础 25

2.1 解析函数 25

2.解析函数概念 28

习题2.1 30

2.2 一些初等解析函数 31

1.多项式和有理函数 32

2.指数函数 32

3.三角函数和双曲函数 34

4.对数函数 35

5.幂函数和根式函数 38

6.多值函数分枝问题 42

7.有理函数的对数 46

8.有理函数的方根 49

9.反三角函数和反双曲函数 52

习题2.2 53

第二章习题 54

第三章 复积分 57

3.1 复积分概念 57

1.复积分的定义及计算 57

2.复积分的基本性质 60

习题3.1 61

3.2 基本定理 63

1.柯西积分定理 63

2.原函数 68

习题3.2 73

3.3 基本公式 74

1.柯西积分公式 74

2.柯西导数公式 76

3.柯西不等式 78

4.莫瑞勒(Morera)定理 79

习题3.3 79

3.4 反常复积分 81

1.反常复积分的定义 81

2.柯西主值积分 83

3.高阶奇异积分 86

习题3.4 88

第三章习题 89

1.复函数项级数的逐项积分和逐项求导 91

4.1 一般理论 91

第四章 解析函数的级数理论 91

2.幂级数及其和函数 92

习题4.1 95

4.2 泰勒展式及唯一性定理 95

1.解析函数的泰勒展式 95

2.解析函数的唯一性 103

3.最大模原理 105

习题4.2 106

4.3 罗朗展式及孤立奇点 108

1.解析函数的罗朗展式 109

2.求罗朗展式的方法 112

3.解析函数的孤立奇点 116

4.整函数和亚纯函数 123

习题4.3 125

第四章习题 127

第五章 留数理论 129

5.1 留数及其计算 129

1.留数概念 130

2.无穷远点处的留数 133

3.边界点的情形 135

习题5.1 137

5.2 留数定理及其推广 138

1.留数定理 138

2.推广的留数定理 141

习题5.2 144

5.3 应用于积分计算 145

1.单值解析函数的应用 146

2.多值解析函数的应用 151

3.高阶奇异积分的应用 158

习题5.3 159

5.4 幅角原理和儒歇(Rouché)定理 160

1.幅角原理 161

2.儒歇定理 163

习题5.4 165

第五章习题 165

第六章 解析开拓 168

6.1 解析开拓的概念和方法 168

1.基本概念 168

2.透弧开拓 169

3.幂级数开拓 174

习题6.1 178

6.2 完全解析函数及单值性定理 180

1.完全解析函数和黎曼面 180

2.单值性定理 182

习题6.2 186

第六章习题 186

第七章 共形映照 188

7.1 分式线性映照 188

1.共形性 189

2.映照群·不动点 190

3.三对对应点决定分式线性映照 191

4.保圆周及侧 192

5.保对称点 195

6.三个特殊的分式线性映照 197

习题7.1 201

7.2 共形映照的一般理论 201

1.单叶解析函数的性质 202

2.黎曼映照定理 204

3.边界对应定理 208

7.3 几个初等函数的映照 210

习题7.2 210

1.指数与对数函数映照 211

2.幂函数映照 212

3.儒可夫斯基(Жуковский)函数映照 214

4.余弦函数映照 217

习题7.3 218

1.已知函数求映照区域 220

2.已知对应区域求映照函数 220

7.4 综合实例 220

习题7.4 232

第七章习题 234

第八章 调和函数 236

8.1 调和函数的概念及其性质 236

1.调和函数与解析函数的关系 236

2.极值原理 239

3.波阿松(Poisson)公式及均值公式 240

习题8.1 242

2.波阿松积分的性质 243

1.一般狄里克来问题 243

8.2 狄里克来(Dirichlet)问题 243

3.圆域上的狄里克来问题 245

4.上半平面的狄里克来问题 246

习题8.2 247

8.3 许瓦兹(Schwarz)-克里斯多菲(Christoffel)公式 248

习题8.3 255

第八章习题 256

9.1 解析函数的流体力学意义 258

1.复环流 258

第九章 解析函数在平面场中的应用 258

2.复势 260

3.源(汇)点、涡点 261

4.偶极子 263

习题9.1 264

9.2 柱面绕流与机翼升力计算 264

1.圆盘绕流 264

2.一般截面绕流 266

3.机翼升力计算 268

习题9.2 269