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第1章 预备知识 1

1.1 记号和术语 1

1.2 一些常用的不等式 3

1.2.1 Cauchy不等式 3

1.2.2 带ε的Cauchy不等式 3

1.2.3 Young不等式 3

1.2.4 带ε的Young不等式 3

1.2.5 Cp不等式 3

1.2.6 Cauchy-Schwarz不等式 3

1.2.7 离散型的H？lder不等式 4

1.2.8 离散型的Minkowski不等式 4

1.2.9 Gronwall不等式（微分形式） 4

1.2.10 Gronwall不等式（积分形式） 4

1.2.11 Jensen不等式 5

1.3 基本函数空间的定义 5

1.4 H？lder不等式，Minkowski不等式和Lp（Ω）范数的内插不等式 9

1.4.1 带权的H？lder不等式 10

1.4.2 广义带权的H？l1der不等式 10

1.4.3 带权的Minkowski不等式 10

1.4.4 广义带权的Minkowski不等式 10

1.4.5 带权的H？lder逆不等式 11

1.4.6 带权的Minkowski逆不等式 11

1.4.7 Lp（Ω）空间范数的内插不等式 11

1.4.8 Minkowski积分不等式 11

1.5 整数阶Sobolev空间Wm，p（Ω） 12

1.5.1 整数阶Sobolev空间和连续函数空间的嵌入定理 12

1.5.2 整数阶Sobolev空间和连续空间的紧嵌入定理 14

1.6 插值定理和Poincaré不等式 15

1.7 分数阶Sobolev空间Hs（RN） 18

1.8 一些引理 19

1.9 离散函数空间的插值公式 24

1.9.1 离散函数的插值公式 24

1.9.2 关于离散函数指数为α的H？lder系数的不等式 27

1.9.3 一个离散函数的不等式 27

1.9.4 有限维空间连续映射的不动点定理 28

1.10 含有时间的空间和含有时间的Sobolev空间 28

1.10.1 含有时间的空间 28

1.10.2 含有时间的Sobolev空间 29

第2章 非线性高阶双曲型方程的初边值问题 31

2.1 广义IMBq方程初边值问题整体解的存在性与不存在性 31

2.1.1 引言 31

2.1.2 初边值问题（2.1.5 ）-（2.1.7 ）局部广义解的存在性和唯一性 32

2.1.3 初边值问题（2.1.5 ）-（2.1.7 ）整体广义解的存在性和唯一性 36

2.1.4 初边值问题（2.1.5 ）-（2.1.7 ）整体古典解的存在性 42

2.1.5 初边值问题（2.1.5 ）-（2.1.7 ）解的爆破 45

2.1.6 在方程（2.1.5 ）中f（u）＝Kuq的情况 46

2.1.7 与本节内容有关的文献 48

2.2 一非线性四阶波动方程解的存在性和不存在性 48

2.2.1 引言 48

2.2.2 问题（2.2.2 ）-（2.2.4 ）的局部解的存在性和唯一性 48

2.2.3 问题（2.2.2 ）-（2.2.4 ）的整体古典解 50

2.2.4 问题（2.2.2 ）-（2.2.4 ）整体解的不存在性 53

2.2.5 与本节内容有关的文献 56

2.3 一类非线性波动方程整体解的存在性和不存在性 56

2.3.1 引言 56

2.3.2 主要结果 57

2.3.3 局部解 59

2.3.4 解的整体存在性证明 62

2.3.5 解爆破的证明 64

2.3.6 关于方程（2.3.1 ）和方程（2.3.5 0）；两个例子 68

2.3.7 与本节内容有关的文献 70

2.4 一类非线性四阶波动方程解的渐近性质和解的爆破 70

2.4.1 引言 70

2.4.2 初边值问题（2.2.2 ）-（2.2.4 ）解的渐近性质 70

2.4.3 初边值问题（2.2.2 ）（2.2.4 ）和初边值问题（2.2.2 ），（2.2.5 ），（2.2.6 ）解的爆破 72

2.4.4 关于问题（2.2.1 ），（2.2.3 ），（2.2.4 ） 78

2.4.5 与本节内容有关的文献 79

2.5 广义立方双色散方程的初边值问题 80

2.5.1 引言 80

2.5.2 辅助问题（2.5.6 ）-（2.5.8 ）的整体解 82

2.5.3 初边值问题（2.5.1 ）-（2.5.3 ）的整体解 86

2.5.4 初边值问题（2.5.1 ）-（2.5.3 ）整体解的不存在性 88

2.5.5 初边值问题（2.5.5 ），（2.5.2 ），（2.5.3 ）和初边值问题（2.5.4 ），（2.5.2 ），（2.5.3 ） 89

2.5.6 与本节内容有关的文献 90

2.6 具有阻尼的非线性双曲型方程的初边值问题 90

2.6.1 引言 90

2.6.2 解的整体存在性与唯一性 91

2.6.3 解的爆破 97

2.6.4 与本节内容有关的文献 101

2.7 具有粘性阻尼的拟线性波动方程初边值问题解的整体存在性 101

2.7.1 引言 101

2.7.2 弱解的整体存在性 102

2.7.3 整体广义解和整体古典解的存在唯一性 111

2.7.4 与本节内容有关的文献 114

2.8 具有粘性阻尼的拟线性波动方程的初边值问题解的爆破 115

2.8.1 引言 115

2.8.2 问题（2.8.1 ）-（2.8.3 ）局部解的存在唯一性 115

2.8.3 解的爆破 122

2.8.4 一个例子 128

2.8.5 与本节内容有关的文献 128

2.9 “坏”Boussinesq型方程初边值问题局部解的存在性 129

2.9.1 引言 129

2.9.2 主要结果的表述 129

2.9.3 局部解的存在性 130

2.9.4 解的爆破 137

2.9.5 与本节内容有关的文献 139

2.10 一类非线性四阶波动方程的位势井方法 139

2.10.1 引言 139

2.10.2 位势井的定义和存在性 140

2.10.3 问题（2.1 0.3 ）-（2.1 0.5 ）整体弱解的存在性 142

2.10.4 整体广义解与整体古典解的存在唯一性 149

2.10.5 与本节内容有关的文献 152

2.11 具有粘性项的拟线性波动方程的初边值问题 153

2.11.1 引言 153

2.11.2 主要定理 154

2.11.3 近似解的积分估计 155

2.11.4 主要定理的证明 163

2.11.5 与本节内容有关的文献 167

2.12 一类具色散项非线性波动方程的初边值问题 167

2.12.1 引言 167

2.12.2 弱解的整体存在性和渐近性质 168

2.12.3 一维的情况 176

2.12.4 解的爆破 179

2.12.5 与本节内容有关的文献 184

2.13 一类具有色散和非线性应变项的四阶波动方程的初边值问题 184

2.13.1 引言 184

2.13.2 预备引理和位势井族的引入 185

2.13.3 不变集和解的真空隔离 194

2.13.4 具有E（0）＜d的问题（2.1 3.1 ）-（2.1 3.3 ）解的整体存在性与不存在性 196

2.13.5 具有临界初值条件E（0）＝d的问题（2.1 3.1 ）-（2.1 3.3 ） 203

2.13.6 推论和例子 206

2.13.7 与本节内容有关的文献 207

2.14 一类具强阻尼非线性波动方程解的整体存在性和解的渐近性质 207

2.14.1 引言 207

2.14.2 预备引理 210

2.14.3 解的整体存在性 212

2.14.4 解的渐近性质 216

2.14.5 例 220

2.14.6 与本节内容有关的文献 220

2.15 一类高阶非线性波动方程的时间周期问题 220

2.15.1 引言 220

2.15.2 预备知识 220

2.15.3 问题（2.5.1 ）-（2.5.3 ）非平凡弱解的存在性 224

2.15.4 与本节内容有关的文献 227

第3章 非线性高阶双曲型方程的Cauchy问题 228

3.1 广义IMBq方程的Cauchy问题 228

3.1.1 引言 228

3.1.2 Cauchy问题（3.1.1 ），（3.1.2 ）局部解的存在性与唯一性 228

3.1.3 Cauchy问题（3.1.1 ），（3.1.2 ）整体解的存在性与唯一性 233

3.1.4 Cauchy问题（3.1.1 ），（3.1.2 ）整体解的不存在性 236

3.1.5 与本节内容有关的文献 239

3.2 一类N维非线性波动方程的Cauchy问题 239

3.2.1 引言 239

3.2.2 Cauchy问题（3.2.3 ），（3.2.4 ）在C2（［0，∞）；Hs）中的整体解 240

3.2.3 问题（3.2.6 ），（3.2.7 ）整体古典解的存在性和唯一性 244

3.2.4 与本节内容有关的文献 246

3.3 具阻尼广义IMBq方程的Cauchy问题 246

3.3.1 引言 246

3.3.2 Cauchy问题（3.3.1 ），（3.3.2 ）在u∈C3（［0，∞）；Wm，p∩ L∞∩L2）中整体解的存在唯一性和解的爆破 247

3.3.3 Cauchy问题（3.3.1 ），（3.3.2 ）在u∈C3（［0，∞）；Hs）中整体解的存在唯一性以及解的爆破 260

3.3.4 与本节内容有关的文献 265

3.4 六阶Boussinesq型方程的Cauchy问题 266

3.4.1 引言 266

3.4.2 Cauchy问题（3.4.4 ），（3.4.5 ）的局部解 267

3.4.3 Cauchy问题（3.4.4 ），（3.4.5 ）整体解的存在性和唯一性 272

3.4.4 解的爆破 276

3.4.5 与本节内容有关的文献 280

3.5 广义立方双色散方程的Cauchy问题 280

3.5.1 引言 280

3.5.2 Cauchy问题（3.5.4 ），（3.5.5 ）局部解的存在性与唯一性 280

3.5.3 整体解 286

3.5.4 解的爆破 291

3.5.5 与本节内容有关的文献 295

3.6 具有流体动力学阻尼项的广义IMBq方程Cauchy问题解的渐近性质 296

3.6.1 引言 296

3.6.2 线性化方程Cauchy问题解的衰减估计 296

3.6.3 Cauchy问题（3.6.1 ），（3.6.2 ）整体解的存在性与唯一性 303

3.6.4 与本节内容有关的文献 310

3.7 关于广义立方双色散方程Cauchy问题解的渐近性质 310

3.7.1 引言 310

3.7.2 线性化方程Cauchy问题解的衰减性质 310

3.7.3 Cauchy问题（3.7.1 ），（3.7.2 ）整体解的存在性与唯一性 315

3.7.4 与本节内容有关的文献 322

3.8 广义Benney-Luke方程的Cauchy问题 322

3.8.1 引言 322

3.8.2 局部解的存在性与唯一性 323

3.8.3 整体解的存在性与不存在性 329

3.8.4 与本节内容有关的文献 339

3.9 多变量的广义IMBq方程的Cauchy问题 339

3.9.1 引言 339

3.9.2 周期边值问题（3.9.1 ），（3.9.2 ） 339

3.9.3 Cauchy问题（3.9.1 ），（3.9.3 ） 350

3.9.4 与本节内容有关的文献 353

3.10 广义立方双色散方程的周期边值问题和Cauchy问题 353

3.10.1 引言 353

3.10.2 辅助问题（3.1 0.3 ），（3.1 0.4 ）的周期边值问题 354

3.10.3 Cauchy问题（3.1 0.3 ），（3.1 0.4 ） 358

3.10.4 Cauchy问题（3.1 0.1 ），（3.1 0.2 ） 360

3.10.5 Cauchy问题（3.1 0.3 ），（3.1 0.4 ）解的爆破 362

3.10.6 Cauchy问题（3.1 0.1 ），（3.1 0.2 ）解的爆破 366

3.10.7 Cauchy问题（2.5.5 ），（3.1 0.2 ）和（2.5.4 ），（3.1 0.2 ） 368

3.10.8 与本节内容有关的文献 368

3.11 三维具阻尼双曲型方程Cauchy问题解的爆破 369

3.11.1 引言 369

3.11.2 周期边值问题 369

3.11.3 Cauchy问题（3.1 1.1 ），（3.1 1.2 ） 377

3.11.4 Cauchy问题（3.1 1.1 ），（3.1 1.2 ）解的爆破 382

3.11.5 例子 386

3.11.6 与本节内容有关的文献 390

3.12 广义IMBq方程Cauchy问题的小振幅整体解 390

3.12.1 引言 390

3.12.2 线性化方程的估计 390

3.12.3 非线性估计 403

3.12.4 主要定理 406

3.12.5 Cauchy问题（3.1 2.1 ），（3.1 2.2 ）小初值的一个非线性散射结果 409

3.12.6 与本节内容有关的文献 411

3.13 具有阻尼项的非线性波动方程的Cauchy问题 412

3.13.1 引言 412

3.13.2 整体解 412

3.13.3 与本节内容有关的文献 422

3.14 具有组合幂型非线性项的广义Boussinesq方程的Cauchy问题 422

3.14.1 引言 422

3.14.2 预备结果 424

3.14.3 解的不变集 429

3.14.4 解的整体存在性和解在有限时刻爆破 430

3.14.5 与本节内容有关的文献 434

第4章 非线性高阶抛物型方程 435

4.1 非线性拟抛物型方程Cauchy问题解的整体存在性 435

4.1.1 引言 435

4.1.2 Cauchy问题（4.1.1 ），（4.1.2 ）整体解的存在性和唯一性 437

4.1.3 Cauchy问题（4.1.3 ），（4.1.4 ）整体解的存在性和唯一性 444

4.1.4 与本节内容有关的文献 450

4.2 广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题 451

4.2.1 引言 451

4.2.2 Cauchy问题（4.2.5 ），（4.2.4 ）局部弱解的存在性和唯一性 452

4.2.3 Cauchy问题（4.2.5 ），（4.2.4 ）整体解的存在性和唯一性 459

4.2.4 N＝3的情况 460

4.2.5 N＝2的情况 464

4.2.6 N＝1的情况 466

4.2.7 Cauchy问题（4.2.5 ），（4.2.4 ）解的衰减性质 467

4.2.8 与本节内容有关的文献 467

4.3 人口问题中的三维Ginzburg-Landau模型方程的Cauchy问题 467

4.3.1 引言 467

4.3.2 周期边值问题（4.3.1 ），（4.3.3 ），（4.3.4 ） 468

4.3.3 Cauchy问题（4.3.1 ），（4.3.2 ） 475

4.3.4 解的渐近性质 475

4.3.5 与本节内容有关的文献 476

4.4 人口问题中一广义Ginzburg-Landau模型方程的时间周期解 476

4.4.1 引言 476

4.4.2 问题（4.4.1 ）-（4.4.3 ）的近似解的积分估计 477

4.4.3 问题（4.4.1 ）-（4.4.3 ）解的存在性和唯一性 482

4.4.4 与本节内容有关的文献 484

4.5 关于人口问题中的一广义扩散模型的定解问题 485

4.5.1 引言 485

4.5.2 周期边值问题（4.5.1 ），（4.5.2 ）；初值问题（4.5.1 ），（4.5.3 ）；初边值问题（4.5.1 ），（4.5.4 ）；（4.5.1 ），（4.5.5 ）和（4.5.6 ），（4.5.7 ） 486

4.5.3 与本节内容有关的文献 495

4.6 Cahn-Hilliard方程的初边值问题 495

4.6.1 引言 495

4.6.2 初边值问题（4.6.1 ）-（4.6.3 ）古典解的存在性与唯一性 496

4.6.3 初边值问题（4.6.1 ）-（4.6.3 ）解的爆破 501

4.6.4 小初值初边值问题（4.6.1 ）（4.6.3 ）整体解的存在性 504

4.6.5 维数N＝2，3情况的初边值问题（4.6.4 ）-（4.6.6 ） 509

4.6.6 与本节内容有关的文献 512

4.7 人口问题中一广义扩散模型方程的初边值问题的有限差分法 513

4.7.1 引言 513

4.7.2 有限差分方程组（4.7.4 ）-（4.7.6 ）解的存在性和唯一性 516

4.7.3 有限差分方程组（4.7.4 ）-（4.7.6 ）解的先验估计 518

4.7.4 当h2＋△t2→0时，有限差分方程组（4.7.4 ）-（4.7.6 ）的解v？（j＝0，1，…，m；n＝0，1，…，N0）的收敛性 525

4.7.5 与本节内容有关的文献 528

第5章 非线性高阶发展方程组 529

5.1 广义IMBq型方程组的初边值问题 529

5.1.1 引言 529

5.1.2 初边值问题（5.1.1 4），（5.1.1 6），（5.1.1 8）的整体解 532

5.1.3 问题（5.1.1 3）-（5.1.1 8）的整体解 543

5.1.4 与本节内容有关的文献 544

5.2 源于DNA的广义IMBq方程组的Cauchy问题 545

5.2.1 引言 545

5.2.2 Cauchy问题（5.2.5 ），（5.2.6 ）在C2（［0，∞）；Hs×Hs）中整体解的存在性和唯一性 546

5.2.3 Cauchy问题（5.2.5 ），（5.2.6 ）解的爆破 554

5.2.4 Cauchy问题（5.2.5 ），（5.2.6 ）解在C（［0，∞）；Wm，p∩L∞×Wm，p∩L∞）中的整体存在性和唯一性 557

5.2.5 与本节内容有关的文献 566

5.3 耦合IMBq型方程组的Cauchy问题（Ⅰ） 566

5.3.1 引言 566

5.3.2 局部解的存在性和唯一性 567

5.3.3 整体解的存在性和唯一性 569

5.3.4 整体解的不存在性 573

5.3.5 例子 576

5.3.6 与本节内容有关的文献 577

5.4 耦合IMBq型方程组的Cauchy问题（Ⅱ） 577

5.4.1 引言 577

5.4.2 Cauchy问题（5.4.5 ），（5.4.6 ）的解在空间C3（［0，∞）；Wm，p∩L∞∩L2）中的存在性和唯一性 578

5.4.3 Cauchy问题（5.4.5 ），（5.4.6 ）解的爆破 589

5.4.4 定理的应用 591

5.4.5 与本节内容有关的文献 594

5.5 一维非线性Schr？dinger-IMBq方程的耦合方程组的Cauchy问题 595

5.5.1 引言 595

5.5.2 局部解的存在性 595

5.5.3 整体解 602

5.5.4 与本节内容有关的文献 606

5.6 多维非线性Schr？dinger方程与广义IMBq方程耦合方程组的Cauchy问题 606

5.6.1 引言 606

5.6.2 周期边值问题（5.6.3 ）-（5.6.6 ） 607

5.6.3 Cauchy问题（5.6.3 ），（5.6.4 ），（5.6.7 ） 624

5.6.4 与本节内容有关的文献 627

参考文献 628

索引 649

《现代数学基础丛书》已出版书目 653