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第1章 对变化进行建模 1

例1　测试比例性 1

1.1　用差分方程对变化进行建模 3

例1　储蓄存单 3

例2　抵押贷款买房 4

1.2　用差分方程近似描述变化 6

例1　酵母培养物的增长 7

例2　再论酵母培养物的增长 7

例3　接触性传染病的传播 9

例4　血流中地高辛的衰减 10

例5　冷冻物体的加热 10

1.3　动力系统的解法 12

例1　再论储蓄存单 13

例2　污水处理 14

例3　地高辛处方 18

例4　投资年金 18

例5　活期储蓄账户 19

例6　再论投资年金 21

1.4　差分方程组 25

例1　汽车租赁公司 26

例2　特拉法尔加战斗 28

例3　竞争猎兽模型——斑点猫头鹰和隼 30

例4　政党的投票趋势 33

第2章 建模过程、比例性和几何相似性 38

2.1　数学模型 39

例1　车辆的停止距离 43

2.2　利用比例性进行建模 47

例1　开普勒第三定律 48

2.3　利用几何相似性进行建模 55

例1　从不动的云层落下的雨滴 56

例2　钓鱼比赛中的建模 57

例3　“骇鸟”尺寸的建模 60

2.4　汽车的汽油里程 65

2.5　体重和身高、力量和灵活性 68

第3章 模型拟合 72

3.1　用图形为数据拟合模型 74

3.2　模型拟合的解析方法 78

3.3　应用最小二乘准则 83

3.4　选择一个好模型 87

例1　车辆的停止距离 89

第4章 实验建模 92

4.1　Chesapeake海湾的收成和其他的单项模型 92

例1　收获蓝鱼 95

例2　收获蓝蟹 95

4.2　高阶多项式模型 100

例1　带式录音机的播放时间 101

4.3　光滑化：低阶多项式模型 106

例1　再论带式录音机的播放时间 106

例2　再论带式录音机的播放时间 109

例3　车辆的停止距离 110

例4　酵母培养物的增长 112

4.4　三阶样条模型 115

例1　再论车辆的停止距离 119

第5章 模拟方法建模 125

5.1　确定行为的模拟：曲线下的面积 126

5.2　随机数的生成 129

5.3　随机行为的模拟 132

5.4　存储模型：汽油与消费需求 138

5.5　排队模型 145

例1　港口系统 145

例2　早高峰时间 152

第6章 离散概率模型 154

6.1　离散系统的概率模型 154

例1　再论汽车租赁公司 154

例2　投票趋势 155

6.2　部件和系统可靠性建模 158

例1　串联系统 158

例2　并联系统 159

例3　串并联组合系统 159

6.3　线性回归 161

例1　美国黄松 162

例2　再论钓鱼比赛 163

第7章 离散模型的优化 166

7.1　优化建模概述 166

例1　确定生产计划方案 167

例2　航天飞机的载货问题 169

例3　分段线性函数逼近 169

7.2　线性规划（一）：几何解法 174

例1　木匠问题 175

例2　数据拟合问题 177

7.3　线性规划（二）：代数解法 181

例1　木匠问题的代数解法 182

7.4　线性规划（三）：单纯形法 184

例1　再论木匠问题 187

例2　使用单纯形表 190

7.5　线性规划（四）：敏感性分析 191

7.6　数值搜索方法 196

例1　二分搜索方法 198

例2　黄金分割搜索方法 200

例3　再论模型拟合的准则 202

例4　工业流程优化 202

第8章 图论建模 205

8.1　作为模型的图 205

8.2　图的描述 210

8.3　图模型 212

8.4　利用图模型来解问题 222

例1　求解最短路径问题 223

例2　求解最大流问题 225

8.5　与数学规划的联系 230

例1　顶点覆盖 230

例2　最大流 232

第9章 量纲分析和相似性 234

9.1　表示为乘积形式的量纲 236

例1　再论单摆 238

例2　作用在厢式运货车上的风力 240

9.2　量纲分析的步骤 242

例1　雨滴的落地速度 246

例2　再论汽车油耗问题 248

9.3　一个阻尼摆 249

9.4　解释量纲分析的几个例子 253

例1　爆炸分析 253

例2　烤火鸡应当烤多久 257

9.5　相似性 261

例1　作用在潜艇上的阻力 262

第10章 函数图表构成模型 265

10.1　军备竞赛 265

例1 民防 271

例2　移动发射台 272

例3　多弹头 273

例4　再论多弹头分导再入运载系统：弹头计数 273

10.2　对分阶段军备竞赛建立模型 274

10.3　管理不可再生资源：能源危机 277

10.4　税收对于能源危机的影响 280

10.5　汽油短缺和税收 284

第11章 用微分方程建模 287

11.1　人口增长 289

11.2　对药剂量开处方 296

11.3　再论刹车距离 302

11.4　自治微分方程的图形解 304

例1　画相直线及解曲线的草图 305

例2　汤的冷却 307

例3　再论逻辑斯谛增长 308

11.5　数值近似方法 309

例1　欧拉法的运用 311

例2　再论储蓄存单 312

11.6　分离变量法 314

例1 315

例2 316

例3 317

例4 317

例5 317

例6 318

例7 318

例8 319

例9　再论牛顿冷却定律 319

例10　再论资源有限的人口增长 320

11.7　线性方程 322

例1 326

例2 327

例3 327

例4　水污染 328

第12章 用微分方程组建模 331

12.1　一阶自治微分方程组的图形解 331

例1　线性自治微分方程组 332

例2　非线性自治微分方程组 333

12.2　竞争捕猎模型 335

12.3　捕食者-食饵模型 341

12.4　两个军事方面的例子 347

例1　Lanchester战斗模型 347

例2　军备竞赛的经济方面 352

12.5　微分方程组的欧拉方法 356

例1　方程组的欧拉方法应用 357

例2　轨线和解曲线 357

第13章 连续模型的优化 361

13.1　库存问题：送货费用和储存费用最小化 362

13.2　制造问题：竞争性产品生产中的利润最大化 368

13.3　约束连续优化 372

例1　石油转运公司 372

例2　航天飞机的水箱 374

13.4　可再生资源的管理：渔业 376

附录A 美国大学生数学建模竞赛试题（1985～2008） 383

附录B 电梯问题的模拟算法 411

附录C　修正单纯形法 418

附录D　积分方法简要复习 420