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第一章 行列式 1

1.1 基本内容提要 1

1.2 重要定理、公式与结论 5

1.3 典型题型与解题指导 7

题型Ⅰ 排列逆序数的计算 7

题型Ⅱ n阶行列式的概念 8

题型Ⅲ 低阶行列式的计算 12

题型Ⅳ 行列式按行（列）展开定理的应用 16

题型Ⅴ n阶行列式的计算 19

题型Ⅵ 利用范德蒙行列式进行计算 33

题型Ⅶ 克莱姆法则的应用 36

题型Ⅷ 综合杂例 38

习题精选一 46

习题精选一答案与提示 52

第二章 矩阵 56

2.1 基本内容提要 56

2.2 重要结论与公式 65

2.3 典型题型与解题指导 69

题型Ⅰ 矩阵的乘法运算问题 69

题型Ⅱ 求方阵的行列式 74

题型Ⅲ 逆矩阵的计算与证明 80

题型Ⅳ 涉及伴随矩阵的计算与证明 99

题型Ⅴ 有关初等变换与初等矩阵的命题 104

题型Ⅵ 解矩阵方程 105

题型Ⅶ 求矩阵的秩 109

题型Ⅷ 杂例 114

习题精选二 121

习题精选二答案与提示 128

第三章 向量 133

3.1 概念及其性质 133

3.2 重要定理与结论 136

3.3 题型分析与解题指导 138

题型Ⅰ 判定向量组的线性相关性 138

题型Ⅱ 已知一组向量线性无关，讨论另一组向量的线性相关性 143

题型Ⅲ 把一个向量用一组向量线性表示 155

题型Ⅳ 求向量组的极大线性无关组与秩 166

题型Ⅴ 求向量组与矩阵的秩 170

题型Ⅵ 矩阵秩的（不）等式证明 177

题型Ⅶ 杂例 183

习题精选三 189

习题精选三答案与提示 194

第四章 线性方程组 198

4.1 概念、性质、定理 198

4.2 典型题型与解题指导 202

题型Ⅰ 有关解的判定、性质和结构的问题 202

题型Ⅱ 不含参数的线性方程组求解 206

题型Ⅲ 含有参数的线性方程组的求解 211

题型Ⅳ 利用方程组求解向量的线性组合 225

题型Ⅴ 抽象线性方程组的求解 228

题型Ⅵ 有关基础解系的证明 231

题型Ⅶ 求方程组的公共解 235

题型Ⅷ 综合杂例 241

习题精选四 254

习题精选四答案与提示 262

第五章 向量空间与线性空间 267

5.1 向量空间的概念与性质 267

5.2 典型题型与解题指导 270

题型Ⅰ 判断一个向量集合是否构成向量空间 270

题型Ⅱ 求向量空间的基（底）与维数 271

题型Ⅲ 求过渡矩阵与向量的坐标 275

题型Ⅳ 有关向量空间命题的证明 283

题型Ⅴ 有关正交矩阵的证明 284

题型Ⅵ 填空题、单项选择题 286

5.3 线性空间的基本概念 289

5.4 典型题型与解题指导 293

题型Ⅰ 验证一个集合是否构成线性空间 293

题型Ⅱ 验证子集合是否为子空间 294

题型Ⅲ 求线性空间的基与维数 295

题型Ⅳ 求线性空间的基变换矩阵与坐标 297

题型Ⅴ 验证线性变换并求其在一组基下的矩阵 300

题型Ⅵ 有关线性空间命题的证明 301

习题精选五 304

习题精选五答案与提示 308

第六章 特征值和特征向量 311

6.1 概念、性质、定理 311

6.2 重要结论与公式 314

6.3 题型分析与解题指导 315

题型Ⅰ 数值矩阵特征值、特征向量的计算 315

题型Ⅱ 抽象矩阵求特征值 319

题型Ⅲ 矩阵特征值、特征向量逆问题的讨论 324

题型Ⅳ 特征值与特征向量有关命题的证明 333

题型Ⅴ 矩阵相似与对角化 337

题型Ⅵ 有关相似矩阵命题的证明 351

题型Ⅶ 有关实对称矩阵的命题 355

题型Ⅷ 特征值、特征向量与相似矩阵的应用 359

题型Ⅸ 综合杂例 368

习题精选六 376

习题精选六答案与提示 384

第七章 二次型 392

7.1 基本概念与定理 392

7.2 题型分析与解题指导 395

题型Ⅰ 化二次型为标准形 395

题型Ⅱ 求正、负惯性指数与合同矩阵 409

题型Ⅲ 有关正定二次型（正定矩阵）命题的求证 410

习题精选七 420

习题精选七答案与提示 424

参考文献 427