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第一章　预备知识 1

1.1 欧氏空间的基本概念 1

1.1.1 n维欧氏空间 1

1.1.2 邻域 开集 闭集 2

1.1.3 连续性 同胚 3

1.1.4 连通集 4

1.1.5 紧致性 4

1.2 向量函数 4

1.2.1 向量函数的极限 5

1.2.2 向量函数的连续性 6

1.2.3 向量函数的微导，Taylor公式 6

1.2.4 向量函数的积分 8

1.2.5 向量函数的几个常用性质 8

1.3 一次形式 10

1.3.1 一次形式的定义 10

1.3.2 一次形式组成的空间 11

1.4 Grassmann积 11

1.4.1 Grassmann积的定义及其简单性质 11

1.4.2　Cartan引理 13

1.5 p-形式及外代数 17

1.5.1 V2-空间 17

1.5.2 p-形式及空间Vp 18

1.5.3 外代数（Grassmann代数） 20

1.6 外微分d 20

习题 27

第二章 曲线论 30

2.1 曲线的一般概念 30

2.1.1 曲线的概念 30

2.1.2 曲线的弧长 自然参数 31

2.2 空间曲线的活动标架（基本三棱形） 33

2.3 空间曲线的基本公式 35

2.4 曲率和挠率 37

2.4.1 曲率和挠率的计算 37

2.4.2 曲率和挠率的几何意义 38

2.5 曲线论的基本定理 39

2.6 几种特殊曲线 41

2.6.1 平面曲线 41

2.6.2 球面曲线 42

2.6.3 曲线在一点的密切圆 44

2.6.4 空间曲线的球面像 44

2.7 曲线的一些整体性质 45

2.7.1 曲线的有关概念 45

2.7.2 平面曲线的几个整体性质 46

2.7.3 空间曲线的某些整体性质 49

习题 53

第三章 曲面的局部性质 56

3.1 曲面的概念 56

3.1.1 曲面的表示 56

3.1.2 切平面与法向量 58

3.2 曲面的第一基本形式 59

3.2.1 曲面上的光滑函数 59

3.2.2　第一基本形式 60

3.2.3 等距对应 65

3.2.4 共形对应 67

3.3 曲面的第二基本形式 69

3.4 曲面上的曲率 74

3.4.1 法曲率 74

3.4.2 主曲率 主方向 76

3.4.3　Gauss曲率 平均曲率 80

3.5 曲面上的一些重要曲线 82

3.5.1 曲率线 82

3.5.2 渐近曲线 85

3.5.3 测地线 86

3.5.4 三种重要曲线的等价命题 88

3.5.5 三种重要曲线之间的关系 89

3.6 特殊曲面 90

3.6.1 极小曲面 90

3.6.2 常曲率曲面 91

3.6.3 可展曲面 93

3.6.4 单参数平面族的包络面 96

3.7 曲面论的基本定理 98

3.7.1 曲面的基本公式 98

3.7.2 曲面的基本方程 102

3.7.3 曲面论的基本定理 110

习题 113

第四章 联络 117

4.1 曲面上的向量场 117

4.1.1 曲面上的光滑函数 117

4.1.2 曲面S在点p ∈S的切向量Xp 118

4.1.3 曲面S上的切向量场 121

4.2 曲面上的联络 122

4.3 联络的曲率张量 125

4.4 测地线 127

习题 130

第五章 曲面的一些整体性质 131

5.1 整体曲面 131

5.2　球面的刚性 135

5.3 Gauss-Bonnet公式 138

5.3.1　局部的Gauss-Bonnet公式 138

5.3.2　整体的Gauss-Bonnet公式 140

5.4 凸曲面与积分公式 144

5.4.1 凸曲面 144

5.4.2　积分公式 145

5.5 全平均曲率与Willmove猜想 147

5.5.1　全平均曲率 147

5.5.2 环面的全平均曲率 148

习题 150

第六章 微分流形初步 152

6.1 微分流形的定义 152

6.2 流形在一点的切空间 156

6.3 Riemann空间 158

6.4 流形上的切向量场 160

6.4.1　基本概念 160

6.4.2　Poisson括号积 164

6.4.3 光滑切向量场的积分曲线 166

6.5 仿射联络 168

6.5.1 仿射联络的定义及局部表示 168

6.5.2 仿射联络的存在性定理 170

6.5.3 仿射联络的挠率和曲率 170

习题 172

主要参考文献 175