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第一部 1

第一章 纯量变元底向量函数 1

1 导言 1

2 无限小向量 1

3 向量底极限 3

4 纯量变元底向量函数 4

5 向量函数导数 6

6 向量函数底图解 6

7 向量函数之导数底几何意义 7

8 向量底微分法则 8

9 Taylor公式 11

10 定长向量与定向向量 12

11 平行于固定平面的向量 13

12 圆向量函数 14

13 向量函数底积分 16

第二章 曲线与切线 17

1 参数式曲线 17

2 参数式曲线底切线 19

3 平面曲线底隐方程式 22

4 由隐方程式表示的曲线底奇异 23

5 渐近线 27

6 代数曲线底切线 28

7 代数曲线底渐近线 29

8 平面曲线族底包络 31

9 曲面及其切线曲面底法线 34

10 曲面底奇异点 38

11 空间曲线底隐表示式 39

12 含n个参数底曲线族 40

13 曲线间的接触 41

14 曲线与曲面底接触 44

第三章 相伴三面形 45

1 密切平面 45

2 密切平面底方程式 47

3 切平面与密切平面 49

4 曲线上一点至密切平面的距 50

5 凝聚点 51

6 基本三面形 51

7 弧长 52

8 弧长参数 55

9 向径关于自然参数的导数 56

10 渐伸线 57

第四章 Frenet-Serret公式 59

1 基本三面形底单位向量 59

2 Frenet-Serret公式 61

3 Frenet-Serret公式底另一推导 63

4 导数于自然参数的展开开 64

5 于单位向量的辅助定理 65

6 曲率 65

7 曲线在密切平面上的射影 66

8 挠率 67

9 曲线在化直平面上的射影 68

10 曲线在已给点近旁的形状 70

11 曲线在凝聚点近旁的形状 72

12 曲率与挠率底计算公式 73

13 平面曲线底曲率 74

14 密切圆 77

15 平面曲线底渐屈线 79

第五章 曲线底自然方程式 84

1 自然方程式 84

2 具同一自然方程式的曲线 85

3 微分方程式 87

4 向量微分方程式 90

5 关于相互三面形的辅助定理 91

6 曲率与挠率底独立 92

7 平面曲线底自然方程式 95

8 定倾曲线 97

9 具公共法线的曲线 100

10 Bertrand曲线 101

11 曲率与挠率间的线性相关 102

12 定曲率曲线 103

第六章 可展曲面 104

1 曲面族底包络 104

2 曲面族底特征线 107

3 脊线 108

4 可展曲面 110

5 极曲面 113

6 极曲面底特征点 114

7 密切球 115

8 切平面底包络 117

9 由法线组成的可展曲面 118

10 空间渐屈线 119

第二部 121

第七章 曲线坐标 121

1 导言 121

2 曲线坐标 121

3 曲面底参数方程式 124

4 切线 126

5 切平面 127

6 含二参数的平面族底包络 128

7 弧长 129

8 第一基本形式 130

9 二曲线底交角 131

10 正交轨线 133

11 曲面底面积 134

12 旋转曲面 136

13 斜的与可展的直纹面 139

14 空间底曲线坐标 142

第八章 曲面曲线底曲率 144

1 法曲率 144

2 第二基本形式 145

3 曲线底曲率及其密切平面 147

4 法截线 148

5 Meusnier定理 149

6 Dupin形 150

7 Euler公式 151

8 主曲率底计算 153

9 旋转曲面底曲率 155

10 球面曲线底曲率 156

11 曲面上点底分类 156

12 曲面在椭圆点近旁的结构 158

13 曲面在双曲点近旁的结构 159

14 曲面在抛物点近旁的结构 161

15 曲面与其切平面切底面交线 163

16 二次曲面底点 164

17 球面映像 164

18 总曲率底符号 166

第九章 曲面上重要的网与线 168

1 共轭方向 168

2 共轭网 169

3 迁移曲面 171

4 渐近曲线 172

5 曲率线 174

6 曲率线底方程式 175

7 零曲率曲面 179

8 由脐点组成的曲面 180

第十章 曲面底本然几何学 180

1 扭曲与贴合 180

2 贴合底判定 181

3 曲面底本然几何学 182

4 可展曲面底扭曲 183

5 曲面底相伴三面形 184

6 曲面单位切向量底微分 186

7 测地曲率 187

8 测地线 189

9 旋转曲面底测地线 191

10 半测地坐标 192

11 测地线与短程线 194

12 相伴三面形底系数 195

13 基本二次形式决定曲面 195

14 Gauss定理 197

15 保角映像 198

16 球极射影 199

17 定Gauss曲率曲面底线素 201

18 定曲率曲面底贴合 202

19 拟球面 203

20 拟球面底测地线 204

第十一章 平行移动 205

1 属于曲面的向量 205

2 本然的平行移动 206

3 曲线在平面上的展开 207

4 测地曲率与测地线 208

5 球面多角形底面积 209

6 向量沿球面闭路径的平行行程 210

7 向量沿任意曲面的平行行程 211

8 Gaus-Bonnet定理 213

9 测地三角形 214

10 关于多连区域的Gaus-Bonnet定理 216

11 闭曲面底整曲率 217

中俄名词索引 219