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第六章 多元函数微分学及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

1-1 n维欧氏空间及其点集 1

1-2 多元数值函数的概念 4

1-3 多元函数的极限 6

1-4 多元函数的连续性 7

1-5 多元向量值函数、极限及连续性 9

习题6-1 11

第二节 多元数值函数的微分法 13

2-1 偏导数及其计算 13

2-2 全微分及其应用 19

习题6-2（1） 25

2-3 复合函数的求导法则 27

习题6-2（2） 33

2-4 隐函数的求导法则 34

习题6-2（3） 39

2-5 方向导数和梯度 41

习题6-2（4） 45

第三节 多元向量值函数的微分法 47

3-1 多元向量值函数的导数 47

3-2 向量值函数的导数的几何应用 49

习题6-3 55

第四节 多元函数的极值、条件极值 57

4-1 多元函数的泰勒公式 57

4-2 多元函数的极值与最值 58

4-3 多元函数的条件极值 63

习题6-4 66

第七章 多元数值函数积分及其应用 68

第一节 重积分的概念和性质 68

1-1 重积分的概念 68

1-2 重积分的性质 71

习题7-1 72

第二节 重积分在直角坐标系下的计算法 73

2-1 直角坐标系下二重积分的计算法 73

2-2 直角坐标系下三重积分的计算法 78

习题7-2 81

第三节 重积分的换元法 84

3-1 二重积分的极坐标换元法 84

习题7-3（1） 88

3-2 三重积分的柱面坐标与球面坐标换元法 90

习题7-3（2） 93

3-3 重积分的一般换元法 95

习题7-3（3） 99

第四节 第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念及其计算法 101

4-1 第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念 101

4-2 第一型曲线积分的计算法 103

4-3 第一型曲面积分的计算法 106

习题7-4 108

第五节 多元数值函数积分的应用 110

5-1 曲面的面积 110

5-2 质心 111

5-3 转动惯量 113

5-4 引力 115

习题7-5 116

第六节 含参变量的积分 118

习题7-6 121

第八章 多元向量值函数积分 123

第一节 第二型曲线积分 123

1-1 第二型曲线积分与向量场的环流量 123

1-2 第二型曲线积分的计算法 126

习题8-1（1） 128

1-3 格林公式 129

1-4 第二型曲线积分和路径无关的条件 132

习题8-1（2） 137

第二节 第二型曲面积分 139

2-1 第二型曲面积分与向量场的通量 139

2-2 第二型曲面积分的计算法 143

习题8-2（1） 145

2-3 高斯公式与散度 146

习题8-2（2） 153

2-4 斯托克斯公式与旋度 155

习题8-2（3） 161

第九章 无穷级数 163

第一节 常数项级数 163

1-1 数项级数的概念 163

1-2 无穷级数的性质 167

习题9-1 168

第二节 常数项级数的审敛法 170

2-1 正项级数及其审敛法 170

2-2 交错级数及其审敛法 175

2-3 任意项级数及其审敛法 177

习题9-2 180

第三节 幂级数 182

3-1 函数项级数的一般概念 182

3-2 幂级数及其收敛域 184

3-3 幂级数的代数运算和分析运算性质 186

习题9-3 189

3-4 函数项级数一致收敛的概念和一致收敛级数的性质 190

第四节 函数展开成幂级数 195

4-1 泰勒级数 195

4-2 函数展开成幂级数的方法 198

4-3 幂级数的应用 201

习题9-4 205

第五节 傅里叶级数 207

5-1 函数系的正交性 207

5-2 函数展开为傅里叶级数及其收敛性 208

5-3 周期为2l的函数的傅氏级数 213

5-4 非周期函数的傅氏级数 215

5-5 傅氏级数的复数形式 218

习题9-5 222

第十章 常微分方程 225

第一节 常微分方程的基本概念 225

习题10-1 227

第二节 一阶微分方程 228

2-1 可分离变量微分方程与一阶线性微分方程 228

习题10-2（1） 236

2-2 用变量代换解一阶微分方程 239

习题10-2（2） 245

2-3 全微分方程 247

习题10-2（3） 250

第三节 可降阶的高阶微分方程 251

习题10-3 256

第四节 高阶线性微分方程 258

4-1 n阶线性微分方程 258

4-2 常系数齐次线性微分方程 263

4-3 常系数非齐次线性微分方程 265

4-4 欧拉方程 274

习题10-4 275

第五节 微分方程的幂级数解法 277

习题10-5 279

第六节 常系数线性微分方程组 280

习题10-6 288

习题答案 291

参考文献 319