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第1章 函数与极限 1

1.1函数 1

1.1.1函数的概念 1

1.1.2函数的基本性质 3

1.1.3反函数与复合函数 5

1.1.4初等函数 6

1.1.5其他类型的函数 7

1.2数列极限 11

1.2.1数列极限的定义 11

1.2.2收敛数列的性质 13

1.3函数极限 15

1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限 15

1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限 16

1.3.3函数极限的性质 17

1.4无穷小量与无穷大量 19

1.4.1无穷小量 19

1.4.2无穷大量 20

1.4.3极限运算法则 21

1.5两个重要极限 24

1.5.1极限存在的两个准则 24

1.5.2两个重要极限 26

1.6无穷小量的比较 30

1.7函数的连续性 32

1.7.1函数连续的概念 32

1.7.2函数的间断点 34

1.7.3连续函数的性质 初等函数的连续性 36

1.7.4闭区间上连续函数的性质 37

第1章总习题 39

第2章 导数与微分 42

2.1导数的概念 42

2.1.1导数的定义 42

2.1.2利用定义求导举例 45

2.1.3函数可导性与连续性的关系 47

2.2导数的求导法则 49

2.2.1导数的四则运算法则 49

2.2.2反函数的求导法则 50

2.2.3复合函数的求导法则 52

2.2.4隐函数的求导法则 54

2.2.5由参数方程确定的函数的导数 55

2.3高阶导数 57

2.4函数的微分 62

2.4.1微分的概念 62

2.4.2微分基本公式与运算法则 64

2.4.3微分在近似计算中的应用 65

第2章总习题 68

第3章 微分中值定理与导数的应用 70

3.1微分中值定理 70

3.1.1罗尔定理 70

3.1.2拉格朗日中值定理 71

3.1.3柯西中值定理 73

3.1.4泰勒公式 74

3.2洛必达法则 77

3.2.10／0与∞／∞型未定式 77

3.2.2其他类型未定式 80

3.3函数的单调性与曲线的凹凸性 81

3.3.1函数的单调性 81

3.3.2曲线的凹凸性 83

3.4函数的极值与最大值、最小值 86

3.4.1函数的极值 86

3.4.2函数的最大值与最小值 89

3.5函数图形的描绘 92

3.5.1曲线的渐近线 92

3.5.2函数图形的描绘 94

3.6导数在经济学中的应用 96

3.6.1边际分析 96

3.6.2弹性分析 97

第3章总习题 100

第4章 不定积分 103

4.1不定积分的概念与性质 103

4.1.1原函数的概念 103

4.1.2不定积分的概念 104

4.1.3不定积分的性质 105

4.1.4基本积分公式 106

4.2换元积分法 108

4.2.1第一类换元法 109

4.2.2第二类换元法 114

4.3分部积分法 119

4.4有理函数的积分 123

4.4.1有理函数的积分 123

4.4.2可化为有理函数的积分 126

4.5积分表的使用 129

第4章总习题 131

第5章 定积分及其应用 133

5.1定积分的概念与性质 133

5.1.1引例 133

5.1.2定积分的定义 134

5.1.3定积分的性质 137

5.2微积分基本公式 140

5.2.1可变上限定积分及其导数 140

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式 142

5.3定积分的换元积分法和分部积分法 145

5.3.1定积分的换元积分法 146

5.3.2定积分的分部积分法 149

5.4广义积分与Γ函数 152

5.4.1积分区间为无限的广义积分 152

5.4.2被积函数为无界的广义积分 153

5.4.3 Γ函数 155

5.5定积分的应用 156

5.5.1定积分的元素法 157

5.5.2平面图形的面积 157

5.5.3体积 160

5.5.4经济学、生物学等方面的应用实例 162

5.6定积分的近似计算 164

5.6.1矩形法 165

5.6.2梯形法 165

第5章总习题 167

第6章 多元函数微积分 169

6.1空间解析几何简介 169

6.1.1空间直角坐标系 169

6.1.2空间曲面 171

6.2多元函数的极限与连续 174

6.2.1区域 174

6.2.2多元函数概念 175

6.2.3二元函数的极限 175

6.2.4二元函数的连续性 176

6.3偏导数 178

6.3.1偏导数的概念 178

6.3.2高阶偏导数 180

6.4全微分 182

6.4.1全微分的定义 182

6.4.2全微分在近似计算中的应用 183

6.5多元复合函数与隐函数的求导法则 184

6.5.1多元复合函数的求导法则 184

6.5.2多元隐函数的求导法则 186

6.6多元函数的极值及其应用 188

6.6.1多元函数的极值 188

6.6.2条件极值 189

6.6.3多元函数的最大值与最小值 191

6.7二重积分 193

6.7.1二重积分的概念与性质 193

6.7.2二重积分的计算 196

第6章总习题 205

第7章 微分方程与差分方程 207

7.1微分方程的基本概念 207

7.2可分离变量的微分方程 211

7.2.1可分离变量的微分方程 211

7.2.2齐次微分方程 214

7.3一阶线性微分方程 216

7.4可降阶的高阶微分方程 220

7.4.1y（n）＝f（x）型的微分方程 220

7.4.2y″＝f（x，y′）型的微分方程 221

7.4.3y″＝f（y，y′）型的微分方程 222

7.5高阶线性微分方程 223

7.5.1二阶线性微分方程解的结构 223

7.5.2二阶常系数齐次线性微分方程 225

7.5.3二阶常系数非齐次线性方程 228

7.6差分方程的基本概念 231

7.6.1差分的概念与性质 231

7.6.2差分方程的概念 233

7.7常系数线性差分方程 234

7.7.1一阶常系数线性差分方程 234

7.7.2二阶常系数线性差分方程 237

第7章总习题 239

第8章 无穷级数 241

8.1常数项级数 241

8.1.1级数敛散性概念 241

8.1.2收敛级数的基本性质 243

8.2常数项级数敛散性判别方法 245

8.2.1正项级数敛散性判别方法 245

8.2.2交错项级数敛散性判别方法 249

8.2.3任意项级数的绝对收敛与条件收敛 250

8.3幂级数 252

8.3.1函数项级数的概念 252

8.3.2幂级数及其收敛域 253

8.3.3幂级数的运算 256

8.4函数的幂级数展开 258

8.4.1泰勒级数 258

8.4.2 函数展开成幂级数 259

第8章总习题 262

附录一 常用三角函数公式 264

附录二 希腊字母表 265

附录三 积分表 266

习题答案与提示 275