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第1章 概率空间 1

1.1 事件与概率 2

1.1.1 事件和事件的运算 2

1.1.2 试验 4

1.2 集合代数 5

1.3 概率和概率空间 9

1.4 概率的扩张 16

1.5 概率和分布函数的一一对应 26

1.6 独立性 31

1.7 习题 36

第2章 随机变量的积分 42

2.1 可测映射 42

2.2 随机变量 45

2.3 随机变量的分布和独立性 53

2.3.1 分布与分布函数 53

2.3.2 随机变量的独立性 54

2.4 随机变量的数学期望 55

2.5 概率变换与积分 63

2.6 Radon-Nikodym定理 65

2.6.1 不定积分和Lebesgue分解 65

2.6.2 分布函数的Lebesgue分解 75

2.7 收敛性 78

2.7.1 本质上下确界 78

2.7.2 几乎处处收敛和依概率收敛 81

2.7.3 一致可积和平均收敛 86

2.7.4 矩与矩不等式 90

2.7.5 Lp空间和Lp收敛定理 94

2.8 习题 101

第3章 乘积空间和随机函数 108

3.1 二维乘积空间和Fubini定理 108

3.1.1 乘积可测空间 108

3.1.2 转移概率和乘积概率 110

3.2 无穷维乘积可测空间和随机函数 117

3.3 习题 126

第4章 条件期望和鞅序列 130

4.1 条件期望的定义 130

4.2 条件期望的性质 136

4.3 条件独立性 149

4.4 条件概率 155

4.5 鞅列和停时 169

4.6 习题 181

第5章 分布函数和特征函数 185

5.1 分布函数 185

5.1.1 随机变量对应的分布函数收敛性 186

5.1.2 分布函数的收敛性 187

5.2 特征函数与分布函数 196

5.2.1 逆转公式 196

5.2.2 几种收敛性之间的关系 201

5.3 随机变量特征函数的初等性质 205

5.3.1 特征函数的一般性质 205

5.3.2 与特征函数有关的不等式性质 207

5.4 特征函数的微分性质及其与对应分布矩的关系 213

5.5 特征函数的判别准则 223

5.6 多维特征函数 232

5.7 习题 236

第6章 极限定理 242

6.1 预备知识 243

6.2 弱大数定律 245

6.3 中心极限定理 251

6.4 正态逼近速度 266

6.4.1 用特征函数来估计正态逼近的速度 266

6.4.2 用Stein方法来估计正态逼近的收敛速度 272

6.5 强大数定律 285

6.6 重对数律 293

6.7 习题 303

参考文献 307