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第1章 一元函数的微分学 1

1.1　数列与极限 1

1.1.1　数列的极限 1

1.1.2　数列极限的性质与运算 3

习题1.1 5

1.2　函数的基本概念 6

1.2.1 函数概念 6

1.2.2　函数的表示法 7

1.2.3　函数的几种特性 8

1.2.4　函数的运算 9

1.2.5　初等函数 11

习题1.2 14

1.3　函数的极限 15

1.3.1　函数极限的定义 15

1.3.2　函数极限的运算 17

1.3.3　两个重要的函数极限 18

习题1.3 19

1.4　连续函数 20

1.4.1　连续函数的概念 20

1.4.2 闭区间上连续函数的性质 21

习题1.4 23

1.5　函数的变化率——导数 23

1.5.1　导数概念 23

1.5.2　导数的定义 24

1.5.3　基本初等函数的导数及求导举例 25

1.5.4　求导法则 26

1.5.5　高阶导数 27

习题1.5 27

1.6　函数的微分 28

1.6.1　微分的定义 28

1.6.2　微分公式与微分法则 29

1.6.3　微分在近似计算中的应用 30

习题1.6 30

1.7　微分中值定理及导数的应用 31

1.7.1 中值定理 31

1.7.2　洛必达法则 32

1.7.3　函数的增减性 33

1.7.4　函数的极值 34

1.7.5　函数的凹凸与拐点 37

习题1.7 40

第2章 一元函数的积分学 42

2.1　不定积分 42

2.1.1　原函数与不定积分的概念 42

2.1.2　不定积分的性质及基本积分公式 42

2.1.3　积分法 44

习题2.1 48

2.2　定积分 49

2.2.1 引例 49

2.2.2　定积分的定义 51

2.2.3　定积分的性质 53

2.2.4　定积分的计算 53

2.2.5　定积分的换元法与分部积分法 55

习题2.2 57

2.3　广义积分 59

2.3.1　无穷限积分 59

2.3.2　瑕积分 60

习题2.3 61

第3章　无穷级数 62

3.1　常数项级数 62

3.1.1　数项级数收敛的定义 62

3.1.2　收敛级数的性质 63

3.1.3　数项级数的一些敛散性判别法 64

习题3.1 67

3.2　幂级数 68

3.2.1 函数项级数的基本概念 68

3.2.2　幂级数 69

3.2.3　幂级数的性质与函数的幂级数展开 70

习题3.2 72

第4章　线性代数 73

4.1　线性方程组的消元法 73

4.1.1　消元法举例 73

4.1.2　消元法的初等变换实现 74

4.1.3　高斯（Gauss）消元法 75

习题4.1 79

4.2　行列式 79

4.2.1　二阶、三阶行列式 79

4.2.2　排列及其逆序数 80

4.2.3　n阶行列式 81

4.2.4　行列式的性质 83

4.2.5　行列式的展开 84

4.2.6　克莱姆规则 86

习题4.2 87

4.3　矩阵 89

4.3.1 矩阵概念 89

4.3.2　矩阵运算 91

4.3.3　矩阵的初等变换和初等矩阵 95

4.3.4　可逆矩阵 97

4.3.5　逆矩阵的求法 98

4.3.6　矩阵的秩 99

4.3.7　分块矩阵 100

习题4.3 103

4.4 向量空间 105

4.4.1　向量的概念 105

4.4.2　n维向量空间 106

4.4.3　线性相关性 107

4.4.4　向量组的秩 110

4.4.5　矩阵秩的几何意义 112

4.4.6 向量空间的基和维数 114

习题4.4 114

4.5　线性方程组的解结构 116

4.5.1　线性方程组的矩阵表示 116

4.5.2　线性方程组有解的判定 116

4.5.3　齐次线性方程组的解结构 117

4.5.4　非齐次线性方程组的解结构 120

习题4.5 122

4.6　矩阵的特征值与特征向量 123

4.6.1　特征值与特征向量的概念 123

4.6.2　特征值与特征向量的求法 124

4.6.3　特征值与特征向量的性质 126

习题4.6 128

4.7　矩阵的相似 129

4.7.1　矩阵相似的概念和性质 129

4.7.2　矩阵的相似对角化问题 130

4.7.3　实对称矩阵的对角化 133

习题4.7 139

第5章　解析几何初步 140

5.1　直角坐标系 140

5.1.1　平面直角坐标系 140

5.1.2　空间直角坐标系 141

习题5.1 142

5.2 向量代数 142

5.2.1　向量的概念 142

5.2.2　向量的坐标 142

5.2.3　向量的数量积 143

5.2.4 向量的向量积 144

5.2.5　向量的混合积 145

习题5.2 146

5.3 曲面 147

5.3.1 曲面方程的概念 147

5.3.2　平面 148

5.3.3　旋转曲面 149

5.3.4　柱面 150

5.3.5　常见的二次曲面 151

习题5.3 154

5.4 空间曲线 155

5.4.1　空间曲线的一般方程 155

5.4.2　空间直线 156

5.4.3　空间直线的位置关系 158

5.4.4　空间平面与空间直线的位置关系 158

5.4.5　平面与空间区域 159

习题5.4 160

5.5　几何学的一些历史 161

5.5.1　欧几里得几何 162

5.5.2　非欧几何 162

5.5.3　射影几何 163

5.5.4　几何学的解析方法 165

第6章　概率统计基础 166

6.1　随机事件与概率 166

6.1.1 随机事件 166

6.1.2　事件的概率 166

6.1.3　事件的关系及运算 167

6.1.4　条件概率 168

6.1.5　事件的独立性和独立试验 169

6.1.6　事件概率的直接计算 170

6.1.7　事件概率的基本性质 173

习题6.1 174

6.2　随机变量及其分布 175

6.2.1 离散型随机变量及其分布 175

6.2.2　连续型随机变量及其分布 179

习题6.2 185

6.3　随机变量的数字特征 186

6.3.1　数学期望 187

6.3.2　方差 188

6.3.3　常见分布的数学期望与方差 190

6.3.4　切比雪夫不等式 192

习题6.3 192

6.4　数理统计初步 194

6.4.1　假设检验问题 194

6.4.2　参数估计问题 196

习题6.4 197

附录A 199

A.1　集合的基数 199

A.2　数学悖论 201

A.3　直线与曲面的和谐 202

A.4　有趣的曲线 203

A.5　关于1+1的说法 204

A.6　代数方程的根式解问题 205

参考文献 207