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第1章 函数、极限与连续 1

1.1　函数及其性质 1

1.1.1 区间与邻域 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3　复合函数、分段函数与反函数 3

1.1.4　初等函数 5

1.2　函数的极限 8

1.2.1　数列的极限 8

1.2.2　函数的极限 9

1.2.3　无穷小与无穷大 12

1.3　极限的运算 14

1.3.1　极限的运算法则 14

1.3.2　两个重要极限 14

1.4　函数的连续性 16

1.4.1 函数的连续性 16

1.4.2 函数的间断点 17

1.4.3　初等函数的连续性 19

1.4.4 闭区间上连续函数的性质 19

第2章　导数与微分 21

2.1　导数的概念 21

2.1.1 两个实例 21

2.1.2　导数的概念 22

2.1.3　可导与连续的关系 25

2.2　导数的运算 27

2.2.1 函数的和、差、积、商求导法则 27

2.2.2　复合函数求导法则 29

2.2.3　反函数求导法则 30

2.2.4　初等函数的求导公式 31

2.2.5　隐函数的导数 32

2.2.6 高阶导数 33

2.3　函数的单调性与极值 35

2.3.1　函数的单调性 35

2.3.2　函数的极值 36

2.4　微分 39

2.4.1　微分的概念 39

2.4.2　微分公式与微分运算法则 41

第3章　不定积分与定积分 43

3.1　不定积分的概念与性质 43

3.1.1 原函数与不定积分 43

3.1.2　基本积分公式和不定积分的性质 44

3.2　不定积分的积分方法 46

3.2.1　换元积分法 46

3.2.2　分部积分法 50

3.3　定积分的概念与性质 53

3.3.1　定积分的实际背景 53

3.3.2　定积分的概念 55

3.3.3　定积分的几何意义 56

3.3.4　定积分的性质 57

3.4　定积分基本公式 59

3.4.1 变上限定积分 59

3.4.2　牛顿-莱布尼茨公式 60

3.5　定积分的积分方法 62

3.5.1 定积分的换元积分法 62

3.5.2　定积分的分部积分法 63

3.6　定积分的几何应用 65

3.6.1　定积分的微元法 65

3.6.2　平面图像的面积 66

3.6.3　旋转体体积 67

3.7　无穷区间上反常积分 69

第4章　常微分方程 71

4.1　微分方程的基本概念 71

4.2　一阶微分方程 73

4.2.1 可分离变量微分方程 73

4.2.2　一阶线性微分方程 74

4.3　二阶常系数线性微分方程 79

4.3.1 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 79

4.3.2　二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 81

第5章　行列式、矩阵与线性方程组 87

5.1　n阶行列式及性质 87

5.1.1　二阶行列式 87

5.1.2　三阶行列式 88

5.1.3 n阶行列式 89

5.1.4　行列式的性质 90

5.2　克莱姆（Cramer）法则 95

5.2.1 克莱姆法则 95

5.2.2　重要定理 97

5.3　矩阵 98

5.3.1　矩阵的概念 98

5.3.2　几种特殊矩阵 98

5.3.3　矩阵的运算 99

5.4　逆矩阵及初等变换 104

5.4.1 逆矩阵 104

5.4.2　矩阵的秩 105

5.4.3　矩阵的初等变换 106

5.5　线性方程组的解法 110

5.5.1 线性方程组的一般概念 110

5.5.2　利用逆矩阵解线性方程组 111

5.5.3　线性方程组的消元解法 112

第6章　无穷级数与傅立叶级数 115

6.1　数项级数及其敛散性 115

6.1.1　数项级数的概念 115

6.1.2　数项级数的基本性质 116

6.1.3　正项级数及其敛散性 116

6.1.4　交错级数及其敛散性 118

6.1.5　绝对收敛与条件收敛 118

6.2　幂级数 119

6.2.1　幂级数的概念 119

6.2.2　幂级数的收敛半径 120

6.2.3 幂级数的收敛区间 121

6.3　将函数展开成幂级数 122

6.3.1 泰勒（Taylor）级数与麦克劳林（Maclaurin）级数 122

6.3.2　将函数展开成幂级数（麦克劳林级数）的方法 123

6.3.3　幂级数应用 124

6.4　傅立叶（Fourier）级数 125

6.4.1 三角函数系的正交性 125

6.4.2 以2π为周期的函数的傅立叶级数展开 126

6.4.3　奇函数与偶函数的傅立叶级数 129

6.4.4　f（x）在（0，π］上展开为正弦级数与余弦级数 130

6.4.5　傅立叶变换与拉普拉斯变换的数学基础 132

第7章　概率论基础知识 136

7.1　随机事件及其概率 136

7.1.1　随机事件 136

7.1.2　事件间的关系与运算 137

7.1.3　事件的概率 139

7.2　概率的基本性质和公式 143

7.2.1　概率的性质 143

7.2.2　条件概率 145

7.2.3　全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式 146

7.2.4　事件的独立性 149

7.3　随机变量及其分布函数 152

7.3.1 离散型随机变量及其分布列 152

7.3.2　连续型随机变量及其概率密度 155

7.4　随机变量的数字特征 160

7.4.1 随机变量的数学期望 160

7.4.2　随机变量的方差 162

第8章　数值计算方法初步 167

8.1　误差概念和有效数字 167

8.1.1　误差 167

8.1.2　有效数字 168

8.1.3　算法的优化 168

8.2　求非线性方程的根 169

8.2.1 二分法 170

8.2.2　牛顿迭代法 171

8.3　函数逼近的插值法 173

8.3.1　线性插值和抛物插值 173

8.3.2　拉格朗日插值多项式 175

8.4　数值积分 177

8.4.1　梯形求积公式 178

8.4.2　辛普生求积公式 178

8.4.3　复化梯形求积公式 179

8.5　常微分方程数值解法 181

8.5.1 初值问题的Euler方法 182

8.5.2　改进的Euler公式 183

参考答案 186