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第1章　集合论 1

1.1　集合与映射 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 1

1.2　关系 2

1.2.1 等价关系 2

1.2.2　偏序集 3

1.2.3 定向集 5

1.3　选择公理 5

1.3.1　任意笛氏积 5

1.3.2　选择公理 6

1.4 良序集、超限归纳原理 7

1.5　基数与序数 7

1.5.1 可数集 7

1.5.2　基数 8

1.5.3　基数的代数运算 8

1.5.4　序数 9

第2章　拓扑空间 11

2.1　拓扑空间的概念 11

2.1.1　拓扑 11

2.1.2 闭集族 12

2.1.3　邻域系 13

2.1.4　度量诱导的拓扑 13

2.1.5 由度量诱导的拓扑 15

2.2　拓扑基与子基 16

2.2.1　拓扑基 16

2.2.2　拓扑子基 20

2.2.3　可数公理 20

2.3　闭包、内部和边界 21

2.4　拓扑空间的其他定义方法 25

第3章　连续映射 31

3.1　连续映射与同胚 31

3.1.1　连续映射 31

3.1.2 同胚 33

3.1.3　焊接引理 33

3.2 由函数诱导的拓扑、任意积拓扑 34

3.2.1　函数诱导拓扑 34

3.2.2 任意多个拓扑空间的积空间 36

3.2.3　R？上的一致度量与一致拓扑 37

3.3　收敛性 37

3.3.1　序列的收敛性 37

3.3.2 网的收敛性 40

3.3.3　收敛空间 43

3.4　商拓扑 44

3.4.1 商拓扑与商映射 44

3.4.2 商空间的例子 46

第4章　连通性及路连通性 51

4.1　连通性 51

4.1.1　连通的概念与基本性质 51

4.1.2　任意积的连通性 53

4.1.3 连通性的应用 54

4.1.4　连通分支与局部连通空间 55

4.2　路连通性 57

4.2.1　路连通空间 57

4.2.2　局部路连通空间 59

4.2.3　路连通分支 60

第5章　分离公理 64

5.1　用邻域分离 64

5.2　用连续函数分离 66

5.3　Tietze扩张定理 68

5.4　Appert空间 69

第6章　紧致性 74

6.1 紧致空间、Lindelof空间与可数紧致空间 74

6.1.1 紧致空间 74

6.1.2　Lindelof空间 77

6.1.3　可数紧致 77

6.1.4　吉洪诺夫定理 78

6.2　紧致性与分离公理 79

6.3　局部紧致性与分离公理 81

6.4　序列紧致与聚点紧致 83

6.4.1　序列紧致性 83

6.4.2　聚点紧致性 85

6.5　一点紧致化 87

第7章　仿紧空间 91

7.1　局部有限性 91

7.2　仿紧空间 93

7.3　单位分解定理 96

7.4　流形的嵌入定理 98

第8章　度量空间 100

8.1　度量化 100

8.2　Urysohn度量化定理 101

8.3　Nagata-Smirnov度量化 102

8.4　Smirnov度量化 104

8.5　度量空间的完备性 105

第9章　映射空间 109

9.1　一致拓扑 109

9.2　连续映射和有界映射 110

9.3　等度连续 112

9.4　点开拓扑和紧致收敛拓扑 115

9.5　Ascoli定理 118

第10章　基本群 122

10.1　映射同伦 122

10.2　同伦等价 124

10.3　道路同伦 128

10.4　基本群的性质 132

10.5　球面的基本群 135

10.6　圆周的基本群 136

10.7　基本群的应用 139

第11章　覆盖空间 142

11.1　覆盖空间的基本性质 142

11.2　道路提升定理 144

11.3　同伦提升定理 146

11.4　映射的提升 148

11.5　覆盖空间的分类 151

11.6　覆盖空间的自同构群 153

11.7　轨道空间 157

11.8　覆盖空间的存在性 161

部分习题解答与提示 170

参考文献 184