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第1章 基础知识 1

1.1 集合与映射 1

1.2 等价关系与集合的分类 7

1.3 偏序与全序 11

1.4 基数 14

第2章 多项式与矩阵代数理论 20

2.1 一元多项式理论 20

2.2 多元多项式 27

2.3 行列式的计算 32

2.4 线性方程组理论 41

2.5 矩阵代数理论 45

第3章 向量空间与线性变换 53

3.1 向量空间 53

3.2 子空间的直和分解 56

3.3 向量空间的同构 58

3.4 线性变换 61

3.5 线性变换的对角化 64

3.6 向量空间的准素分解 68

第4章 欧氏空间与双线性函数 74

4.1 欧氏空间 74

4.2 正交变换和对称变换 80

4.3 酉空间 82

4.4 双线性函数 86

4.5 二次型与正定矩阵的应用 91

第5章 群论基础 97

5.1 群论基础 97

5.2 有限群的结构 105

5.3 可解群、幂零群与超可解群 111

5.4 有限生成Abel群的结构 116

第6章 环与域 121

6.1 环论基础 121

6.2 理想与商环 126

6.3 唯一分解环 132

6.4 唯一分解环上的一元多项式环 137

6.5 域的扩张 141

第7章 模理论 146

7.1 模的定义和基本性质 146

7.2 主理想整环上的自由模 151

7.3 主理想整环上的有限生成模 156

7.4 主理想整环上有限生成模的结构 160

7.5 有限生成模的自同态环 165

第8章 向量空间的分解和算子的若当标准型 171

8.1 带有线性算子的模 171

8.2 有理典范型 175

8.3 算子的本征值与本征向量 178

8.4 幂零算子的标准分解 180

8.5 算子的若当标准型 186

8.6 射影代数 190

第9章 赋范线性空间 195

9.1 线性泛函 195

9.2 内积空间 201

9.3 距离空间 204

9.4 傅立叶展开 206

9.5 基的正交化方法 209

第10章 正规算子的谱理论 214

10.1 正交可对角化性 214

10.2 正规算子 216

10.3 正交对角化 219

10.4 线性算子的正交分解 223

10.5 线性算子的谱理论 226

第11章 度量线性空间 232

11.1 双线性型的矩阵 232

11.2 二次型 235

11.3 正交几何的结构 239

11.4 有限域上的正交几何 242

11.5 维特消去定理 247

11.6 维特扩张定理 250

第12章 希尔伯特空间 255

12.1 距离空间上的收敛性 255

12.2 距离空间的稠密与连续 259

12.3 距离空间的完全化 263

12.4 希尔伯特空间 266

12.5 傅立叶级数 272

12.6 希尔伯特空间的特征 278

第13章 向量空间的张量积 282

13.1 自由向量空间 282

13.2 向量空间的张量积 285

13.3 线性变换的张量积 290

13.4 交错映射与外积 295

第14章 仿射几何与多项式函数 298

14.1 格代数基础 298

14.2 仿射几何 303

14.3 平坦格 306

14.4 仿射变换与射影几何 308

14.5 形式幂级数 311

14.6 几种重要的线性算子和多项式 315

参考文献 320