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第一章 概率统计 1

1.1 事件与概率 1

1.2 随机向量及其分布 3

1.3 数学期望及其计算 6

A．数学期望 6

B．条件概率和条件数学期望 8

C．数学期望的计算公式 9

D．概率不等式 11

1.4 总体，样本与次序统计量 11

A．总体与样本 11

B．次序统计量 12

1.5 特征函数和概率极限定理 13

A．特征函数 13

B．概率极限定理 14

1.6 参数估计 16

A．最大似然估计 16

B．抽样分布的上α分位数 16

1.7 置信区间和假设检验 17

1.8 随机变量举例 18

A．两点分布 18

B．二项分布 19

C．几何分布 20

D．泊松分布 20

E．指数分布 20

F．正态分布 22

习题一 23

第二章 泊松过程 25

2.1 计数过程和泊松过程 25

A．随机过程和随机序列 25

B．计数过程 26

C．泊松过程 27

练习2.1 32

2.2 泊松呼叫流 32

A．呼叫流的概率分布 33

B．等待间隔Xn的分布 36

C．到达时刻的条件分布 37

D．简单呼叫流 41

练习2.2 42

2.3 年龄和剩余寿命 43

练习2.3 46

2.4 泊松过程的汇合与分流 46

A．泊松过程的汇合 47

B．泊松过程的分流 49

C．复合泊松过程 53

练习2.4 55

2.5 泊松过程的参数估计 55

A．用N（t）估计λ 55

B．用Sn估计λ 58

C．复合泊松过程的参数估计 59

练习2.5 59

2.6 非时齐泊松过程 60

A．非时齐泊松过程 60

B．强度函数的估计 62

习题二 66

第三章 更新过程 72

3.1 更新过程 72

A．极限定理 73

B．更新函数 75

C．更新流 78

练习3.1 79

3.2 更新定理 80

A．停时 80

B．基本更新定理 83

C．布莱克威尔定理 84

D．关键更新定理 86

练习3.2 88

3.3 更新方程和分支过程 89

A．卷积及其性质 89

B．更新方程 92

C．分支过程 93

练习3.3 96

3.4 开关系统 97

A．开关系统 97

B．多个状态的系统 103

练习3.4 104

3.5 年龄和剩余寿命 105

A．年龄A（t）的分布 106

B．剩余寿命R（t）的分布 107

C．t时服役部件的寿命分布 108

D．SN（t）的分布函数 109

练习3.5 112

3.6 年龄，剩余寿命和更新间隔的比较 112

A．A（t）,R（t）和更新间隔的比较 113

B．XN（t）+1随机大于更新间隔 114

C．EA（t）,ER（t）和EXN（t）+1的极限 115

练习3.6 118

3.7 延迟更新过程 119

A．平衡更新过程 119

B．延迟更新过程 120

C．延迟开关系统 125

3.8 有偿更新过程 126

习题三 131

第四章 离散时间马尔可夫链 136

4.1 马氏链及其转移概率 136

练习4.1 141

4.2 柯尔莫哥洛夫-切普曼方程 141

A．K-C方程 141

B．初始分布和Xn的分布 143

练习4.2 145

4.3 状态的命名和周期 145

A．常返与非常返状态 146

B．正常返和零常返状态 149

C．周期及其性质 151

D．遍历状态 153

练习4.3 155

4.4 状态空间分类 156

A．状态空间的分解 156

B．简单随机游动的常返性 158

C．质点在常返等价类中的转移 161

练习4.4 166

4.5 不变分布 167

练习4.5 173

4.6 平稳可逆分布 174

A．平稳性 174

B．平稳可逆性 177

C．平稳可逆分布的计算 179

练习4.6 183

4.7 离散时间分支过程 184

A．灭绝概率 186

B．参数估计 190

练习4.7 191

4.8 强大数律和中心极限定理 191

A．强马氏性 191

B．强大数律和中心极限定理 192

练习4.8 195

4.9 马氏链的统计推断 195

A．一步转移概率的估计 195

B．P=P0的假设检验 196

C．独立性检验 197

习题四 198

第五章 连续时间马尔可夫链 204

5.1 连续时间马氏链的定义 204

练习5.1 206

5.2 泊松过程是马氏链 206

练习5.2 209

5.3 转移速率矩阵 209

练习5.3 213

5.4 连续时间马氏链的结构 213

A．保守马氏链 213

B．马氏链的结构 217

练习5.4 220

5.5 柯尔莫哥洛夫方程 220

A．向后和向前方程 221

B．解柯尔莫哥洛夫方程 222

练习5.5 225

5.6 生灭过程 226

A．线性生灭过程 227

B．线性纯生过程 231

C．生灭过程 233

D．简单的传染病模型 234

练习5.6 236

5.7 连续时间分支过程 236

练习5.7 239

5.8 马氏链的极限分布 240

A．pij（t）的极限 240

B．马氏链的h骨架和状态分类 241

C．平稳不变分布 244

练习5.8 250

5.9 时间可逆的马氏链 251

A．时间可逆的马氏链 251

B．可逆分布的计算 253

习题五 257

第六章 布朗运动 261

6.1 布朗运动 261

A．布朗运动 261

B．二维布朗运动 264

6.2 布朗运动的简单性质 264

6.3 首中时和Arcsin律 265

A．首中时和最大值的分布 266

B．Arcsin律 268

6.4 布朗桥与经验过程 270

6.5 布朗运动的轨迹 273

A．轨迹的不可微 273

B．轨迹的无限长 274

C．重对数律 276

6.6 随机游动与布朗运动 276

习题六 279

第七章 应用举例 281

7.1 互联网的PageRank问题 281

A．半马氏过程 282

B．用转移速率矩阵作PageRank 286

7.2 简单排队问题 286

A．M/G/1忙期 287

B．M/M/m排队 289

7.3 系统维修问题 293

部分习题参考答案和提示 299

附录A 部分定理的证明 313

附录B 常见分布的期望、方差、母函数和特征函数 320

附录C1 标准正态分布表 321

附录C2 标准正态分布的上α分位数 322

附录C3 x2（n）分布的上α分位数 323

符号说明 325

参考书目 326

名词索引 327