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超级导读 线性代数大厦建造史（必看） 1

1 考研数学线性代数就是一座大楼 2

2 帮你盖楼 4

3 第1章到第6章的内容 4

4 满分要这样才行 6

5 给大家的话 6

第1章 第一层——行列式 7

1.1第一车砖——行列式长什么样 8

1.2第二车砖——行列式的本质 9

1.3第三车砖——行列式的基本计算方法 9

1.3.1特殊行列式的计算 10

1.3.2一般行列式的计算 13

1.4第四车砖——行列式的五条性质 17

1.4.1性质1 18

1.4.2性质2 19

1.4.3性质3 19

1.4.4性质4 21

1.4.5性质5 22

1.5第五车砖——克拉默法则 23

1.6第六车砖——矩阵 29

1.7第七车砖——矩阵的运算 30

1.7.1矩阵与矩阵相加 30

1.7.2数字与矩阵相乘 31

1.7.3矩阵与矩阵相乘 31

1.8第八车砖——矩阵的转置 35

1.9第九车砖——方阵、对角矩阵、单位矩阵、逆矩阵 36

1.9.1方阵 36

1.9.2对角矩阵 36

1.9.3单位矩阵 37

1.9.4逆矩阵 37

1.10第十车砖——矩阵的向量表示法 39

1.11房间101——关于代数余子式的三句话 40

1.11.1第一句话 40

1.11.2第二句话 41

1.11.3第三句话 42

1.11.4真题分析 44

1.12房间102——克拉默法则的推论 46

1.12.1第一个充分必要条件 47

1.12.2第二个充分必要条件 48

1.12.3第三个充分必要条件 49

1.12.4第四个充分必要条件 49

1.12.5真题分析 49

1.13房间103——关于行列式的两种计算题 55

1.13.1抽象行列式的计算 55

1.13.2具体行列式的计算 57

1.14房间104——贯穿考研试题的思维定势 80

1.15小结 82

1.16练习题 82

1.17结尾语 88

第2章 第二层——矩阵 89

2.1第一车砖——矩阵的初等变换 90

2.2第二车砖——初等矩阵 91

2.3第三车砖——矩阵的秩 92

2.3.1矩阵的子式的定义 92

2.3.2矩阵的秩的定义 95

2.3.3利用初等行变换来求矩阵的秩 95

2.4房间201——第一个大总结 104

2.5房间202——第二个大总结 105

2.6房间203——矩阵乘法的两条算定律 110

2.6.1矩阵乘法满足结合律 110

2.6.2矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律 110

2.7房间204——可交换的矩阵相乘特例 110

2.8房间205——关于矩阵转置的四个公式 111

2.9房间206——关于矩阵可逆的六个公式 111

2.10房间207——可逆矩阵、初等变换、初等矩阵、矩阵的秩之间的关系以及等价矩阵 118

2.10.1可逆矩阵与初等矩阵的关系 118

2.10.2初等矩阵与初等变换的关系 118

2.10.3初等变换与矩阵的秩的关系 121

2.10.4初等矩阵的逆矩阵 123

2.10.5等价矩阵 124

2.11房间208——分块矩阵以及一些知识点的深化 126

2.11.1分块矩阵 126

2.11.2反对称矩阵 127

2.11.3求一个矩阵的逆矩阵 130

2.11.4特殊分块矩阵的逆矩阵 134

2.11.5求一个矩阵的若干次幂 138

2.12小结 143

2.13练习题 144

2.14结尾语 153

第3章 第三层——向量 155

3.1第一车砖——向量与向量组的基本概念 156

3.2第二车砖——线性表出的概念 156

3.3第三车砖——线性相关与线性无关的概念 157

3.4第四车砖——最大无关组 159

3.5第五车砖——“向量组的秩”的概念 160

3.6第六车砖——“向量组的秩”与“矩阵的秩”的关系 161

3.7第七车砖——线性表出的推广 162

3.8第八车砖——等价向量组 163

3.9房间301——关于线性相/无关要记的几个结论 165

3.10房间302——方程组的求解 166

3.10.1求齐次方程组的通解 168

3.10.2求非齐次方程组的通解 178

3.11房间303——五个重要的定理 184

3.11.1定理1 184

3.11.2定理2 185

3.11.3定理3 185

3.11.4定理4 192

3.11.5定理5 192

3.11.6真题分析 193

3.12房间304——线性表出的本质 197

3.13房间305——初等行变换前后相应的列向量组具有相同的线性相关性 198

3.14房间306——与秩有关的八个公式 203

3.15房间307——向量空间 206

3.15.1向量空间，基，维数，坐标 206

3.15.2基变换公式 209

3.15.3正交向量，正交矩阵，正交化 211

3.16房间308——线性相/无关的证明题 220

3.16.1方法1 220

3.16.2方法2 221

3.17小结 225

3.18练习题 226

3.19结尾语 233

第4章 第四层——解线性方程组 235

4.1房间401——求两个方程组的公共解 236

4.2房间402——同解方程组的证明 240

4.2.1方法1 241

4.2.2方法2 243

4.3房间403——已知齐次方程组的基础解系，反求齐次方程组 245

4.4房间404——线性方程组解的性质 247

4.5房间405——通过讨论方程组中参数的取值，判断解的类型 252

4.6房间406——已知方程组解的类型，求方程组中的参数 258

4.7小结 261

4.8练习题 262

4.9结尾语 269

第5章 第五层——特征值、特征向量、相似矩阵 271

5.1第一车砖——特征值、特征向量的基本概念 272

5.2第二车砖——特征值、特征向量的计算方法 272

5.3第三车砖——对称矩阵、正交矩阵的复习 277

5.4第四车砖——矩阵有多少个特征值为零 279

5.5第五车砖——相似矩阵 281

5.6第六车砖——对角化 282

5.7第七车砖——合同矩阵 282

5.8房间501——如何证明两个矩阵有相同的特征值 283

5.9房间502——几个需要记住的结论 285

5.9.1结论1 285

5.9.2结论2 286

5.9.3结论3 286

5.9.4结论4 287

5.10房间503——与特征向量有关的证明题通常会用到反证法 287

5.11房间504——通过A的特征值、特征向量来推关于A的多项式的特征值、特征向量 289

5.12房间505——什么样的方阵可以对角化 292

5.13房间506——若方阵可以对角化，那么A以及P怎么求 297

5.14房间507——关于相似矩阵的五个小结论 305

5.15房间508——实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必正交 306

5.16房间509——实对称矩阵一定可以相似于对角矩阵 308

5.17房间510——实对称矩阵一定可以合同于对角矩阵 317

5.18小结 321

5.19练习题 323

5.20结尾语 332

第6章 第六层——二次型 333

6.1第一车砖——二次型的定义 334

6.2第二车砖——二次型的对应矩阵 335

6.3第三车砖——利用矩阵乘法来表示二次型 336

6.4第四车砖——标准形 337

6.5第五车砖——规范形 338

6.6第六车砖——化二次型为标准形 339

6.7第七车砖——合同二次型 340

6.8第八车砖——正定二次型、正定矩阵 341

6.9房间601——用正交变换法化二次型为标准形 342

6.10房间602——用配方法化二次型为标准形 349

6.11房间603——两个对称矩阵合同的充分必要条件 355

6.12房间604——正定二次型、正定矩阵的证明方法 357

6.12.1正定矩阵的证明方法 357

6.12.2正定二次型的证明方法 362

6.13小结 364

6.14练习题 365

6.15 结尾语 372