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主题概要 1

0.1线性代数 1

0.2实分析 1

0.3向量值函数的微积分 1

0.4点集拓扑 2

0.5经典Stokes定理 2

0.6微分形式和Stokes定理 2

0.7曲线和曲面的曲率 2

0.8几何学 3

0.9复分析 3

0.10可数性和选择公理 4

0.11代数 4

0.12勒贝格积分 4

0.13傅里叶分析 4

0.14微分方程 5

0.15 组合学和概率论 5

0.16算法 5

第1章 线性代数 6

1.1介绍 6

1.2基本向量空间Rn 7

1.3向量空间和线性变换 9

1.4基、维数和表示为矩阵的线性变换 11

1.5行列式 13

1.6线性代数基本定理 17

1.7相似矩阵 18

1.8特征值和特征向量 19

1.9对偶向量空间 24

1.10推荐阅读 25

1.11练习 25

第2章ε和δ实分析 27

2.1极限 27

2.2连续性 29

2.3微分 30

2.4积分 31

2.5微积分基本定理 34

2.6函数的点态收敛 36

2.7一致收敛 38

2.8 Weierstrass M判别法 40

2.9 Weierstrass的例子 41

2.10推荐阅读 45

2.11练习 45

第3章向量值函数的微积分 47

3.1向量值函数 47

3.2向量值函数的极限和连续性 48

3.3微分和Jacobi矩阵 49

3.4反函数定理 52

3.5隐函数定理 53

3.6推荐阅读 56

3.7练习 57

第4章 点集拓扑 59

4.1基础定义 59

4.2 Rn上的标准拓扑 61

4.3度量空间 67

4.4拓扑基 68

4.5交换环的Zariski拓扑 69

4.6推荐阅读 71

4.7练习 72

第5章 经典Stokes定理 74

5.1关于向量微积分的准备工作 75

5.1.1向量场 75

5.1.2流形和边界 76

5.1.3路径积分 78

5.1.4曲面积分 81

5.1.5梯度 83

5.1.6散度 83

5.1.7旋度 84

5.1.8可定向性 84

5.2散度定理和Stokes定理 85

5.3散度定理的物理解释 87

5.4 Stokes定理的物理解释 88

5.5散度定理的证明梗概 89

5.6 Stokes定理的证明梗概 91

5.7推荐阅读 94

5.8练习 94

第6章 微分形式和Stokes定理 96

6.1平行六面体的体积 96

6.2微分形式和外导数 99

6.2.1初等k-形式 100

6.2.2 k-形式的向量空间 102

6.2.3处理k-形式的准则 103

6.2.4微分k-形式和外导数 106

6.3微分形式和向量场 108

6.4流形 110

6.5切空间和定向 115

6.5.1隐式和参数化流形的切空间 115

6.5.2抽象流形的切空间 116

6.5.3向量空间的定向 117

6.5.4流形和它的边界的定向 118

6.6流形上的积分 119

6.7 Stokes定理 121

6.8推荐阅读 123

6.9练习 124

第7章 曲线和曲面的曲率 126

7.1平面曲线 126

7.2空间曲线 128

7.3曲面 132

7.4 Gauss-Bonet定理 135

7.5推荐阅读 136

7.6练习 137

第8章 几何学 139

8.1欧式几何 140

8.2双曲几何 141

8.3椭圆几何 143

8.4曲率 144

8.5推荐阅读 145

8.6练习 145

第9章 复分析 147

9.1解析函数 148

9.2柯西-黎曼方程 149

9.3复变函数的积分表示 153

9.4解析函数的幂级数表示 159

9.5保角映射 162

9.6黎曼映射定理 164

9.7多复变数：哈托格斯定理 165

9.8推荐阅读 167

9.9练习 167

第10章 可数性和选择公理 170

10.1可数性 170

10.2朴素集合论与悖论 173

10.3选择公理 175

10.4不可测集 176

10.5哥德尔和独立性证明 177

10.6推荐阅读 178

10.7练习 178

第11章 代数 180

11.1群 180

11.2表示论 185

11.3环 187

11.4域和迦罗瓦理论 188

11.5推荐阅读 193

11.6练习 193

第12章 勒贝格积分 195

12.1勒贝格测度 195

12.2康托集 197

12.3勒贝格积分 199

12.4收敛理论 201

12.5推荐阅读 202

12.6练习 202

第13章 傅里叶分析 204

13.1波函数，周期函数和三角学 204

13.2傅里叶级数 205

13.3收敛问题 210

13.4傅里叶积分和变换 211

13.5求解微分方程 214

13.6推荐阅读 216

13.7练习 216

第14章 微分方程 218

14.1基本知识 218

14.2常微分方程 219

14.3拉普拉斯算子 222

14.3.1平均值原理 222

14.3.2变量分离 224

14.3.3在复分析上的应用 225

14.4热传导方程 226

14.5波动方程 228

14.5.1来源 228

14.5.2变量代换 231

14.6求解失败：可积性条件 233

14.7 Lewy的例子 235

14.8推荐阅读 235

14.9练习 236

第15章 组合学和概率论 237

15.1计数 237

15.2概率论基础 238

15.3独立性 240

15.4期望和方差 241

15.5中心极限定理 243

15.6n！的Stirling近似 248

15.7推荐阅读 252

15.8练习 252

第16章 算法 254

16.1算法和复杂度 254

16.2图：欧拉和哈密顿回路 255

16.3排序和树 257

16.4 P=NP？ 260

16.5数值分析：牛顿法 261

16.6推荐阅读 266

16.7练习 266

附录 等价关系 268

参考文献 270