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第1章 集合 1

1.1 集合的概念 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合之间的关系 2

1.1.3 集合之间的运算 3

习题1.1 6

1.2 关系及其表示 6

1.2.1 笛卡儿积与二元关系 6

1.2.2 关系的表示 10

习题1.2 11

1.3 关系的运算 11

1.3.1 关系的逆 12

1.3.2 关系的合成 13

习题1.3 15

1.4 关系的性质 16

1.4.1 关系的性质 16

1.4.2 关系性质的判定 18

习题1.4 20

1.5 关系的闭包 21

1.5.1 闭包的定义 21

1.5.2 闭包的性质 23

习题1.5 23

1.6 等价关系 24

习题1.6 27

1.7 序关系 27

1.7.1 偏序和拟序关系的定义 27

1.7.2 全序与良序 31

习题1.7 32

1.8 函数 34

1.8.1 复合函数 35

1.8.2 反函数 36

习题1.8 37

1.9 集合在计算机科学中的应用 38

1.9.1 笛卡儿积在数据库中的应用 38

1.9.2 集合在数据库中的应用 39

第2章 数理逻辑 40

2.1 命题与联结词 40

2.1.1 命题 40

2.1.2 联结词 41

习题2.1 45

2.2 命题公式与命题类型 45

2.2.1 命题公式 45

2.2.2 命题类型 48

习题2.2 49

2.3 命题等价式和命题蕴含式 50

2.3.1 命题等价式 50

2.3.2 命题蕴含式 51

习题2.3 53

2.4 置换式与对偶式 54

2.4.1 置换式 54

2.4.2 对偶原理 55

习题2.4 56

2.5 命题的推理理论 56

2.5.1 推理规则 57

2.5.2 直接证明 58

2.5.3 间接证明 58

习题2.5 61

2.6 谓词和量词 62

2.6.1 谓词、个体词 62

2.6.2 量词 63

2.6.3 命题符号化 64

习题2.6 65

2.7 谓词公式及其类型 65

2.7.1 谓词公式 65

2.7.2 谓词公式类型 68

习题2.7 69

2.8 谓词公式的等价关系与蕴含关系 70

2.8.1 命题永真公式的推广 70

2.8.2 与量词相关的等价关系和蕴含关系式 70

习题2.8 72

2.9 谓词公式的推理理论 73

习题2.9 76

第3章 代数系统 77

3.1 代数系统 77

3.1.1 代数系统的定义与实例 77

3.1.2 子代数系统 77

3.1.3 代数系统的同态和同构 78

习题3.1 78

3.2 半群和独异点 79

3.2.1 半群与独异点的定义 79

3.2.2 半群与独异点的性质 79

习题3.2 81

3.3 群的定义与性质 82

3.3.1 群的定义与实例 82

3.3.2 群的术语 82

3.3.3 群的性质 83

习题3.3 84

3.4 子群 85

3.4.1 子群的定义 85

3.4.2 子群的判定定理 85

3.4.3 典型子群的实例：生成子群、群的中心等 86

习题3.4 86

3.5 循环群与置换群 87

3.5.1 循环群 87

3.5.2 置换群 88

习题3.5 91

3.6 环和域 91

3.6.1 环 91

3.6.2 域 92

习题3.6 93

3.7 格 93

3.7.1 格的定义 93

3.7.2 格的实例 94

3.7.3 格的性质 95

习题3.7 99

3.8 布尔代数 99

3.8.1 布尔代数的定义 99

3.8.2 布尔代数的性质 100

3.8.3 有限布尔代数的表示定理 101

习题3.8 101

第4章 图论 103

4.1 图的基本概念 103

4.1.1 图的定义和表示 103

4.1.2 图的扩充 104

4.1.3 图论基本定理 105

4.1.4 基本图例 106

4.1.5 子图与补图 107

4.1.6 图的同构 109

习题4.1 110

4.2 图的道路与连通性 110

4.2.1 道路 110

4.2.2 图的连通性 113

4.2.3 有向图的连通性 115

习题4.2 116

4.3 图的矩阵表示 117

4.3.1 邻接矩阵 117

4.3.2 可达性矩阵 120

4.3.3 关联矩阵 121

习题4.3 123

4.4 图的着色 124

习题4.4 127

4.5 树与生成树 127

4.5.1 树的概念 127

4.5.2 生成树及其应用 129

习题4.5 131

4.6 根树及其应用 131

4.6.1 根树 131

4.6.2 最优树 134

4.6.3 前缀码 136

习题4.6 137

4.7 平面图与对偶图 138

4.7.1 平面图 138

4.7.2 对偶图 140

习题4.7 141

4.8 欧拉图及其应用 141

习题4.8 146

4.9 哈密顿图及其应用 146

习题4.9 149

4.10 图的匹配与匈牙利算法 149

习题4.10 154

参考文献 156