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第1章 引论 1

1.1摄动理论溯源 1

1.1.1常微分方程发展历程的简要回顾 1

1.1.2摄动方法及理论的起源与发展 2

1.2正则摄动与奇异摄动 3

1.3渐近序列与渐近级数 5

1.3.1渐近序列 5

1.3.2渐近展开式 5

1.3.3渐近级数 6

1.3.4渐近与收敛 6

1.4无量纲化 7

参考文献 9

第2章 经典摄动方法简介 11

2.1变形坐标法 11

2.1.1变形坐标法的基本思想 11

2.1.2 Lindstedt-Poincar？方法（L-P方法） 12

2.1.3 Lighthill技巧 14

2.1.4重正化方法 17

2.1.5 Temple技巧 19

2.1.6变形坐标法的适用性 20

2.2平均法 20

2.2.1 KB平均法 20

2.2.2一种推广的平均法——KBM方法 25

2.3匹配展开法 26

2.3.1匹配展开法的基本思想 26

2.3.2 Prandtl匹配原则 28

2.3.3边界层位置的确定 29

2.3.4 van Dyke匹配原理 31

2.3.5几点说明 33

2.4合成展开法 35

2.4.1合成展开法的基本思想 35

2.4.2例 36

2.5 WKB近似法 37

2.5.1最简单的三类二阶常微分方程 38

2.5.2 Liouville-Green变换 38

2.5.3 WKB近似 39

2.5.4转向点 40

2.6多重尺度法 40

2.6.1多重尺度法的基本思想 40

2.6.2两变量展开法 43

2.6.3推广的多重尺度法 44

2.7奇异摄动理论和方法的一些发展动向 48

参考文献 52

第3章 吉洪诺夫定理和边界层函数法 57

3.1引论 57

3.2吉洪诺夫定理 58

3.3初值问题形式渐近解的构造方法 59

3.4初值问题的瓦西里耶娃定理 66

3.4.1定理的叙述 66

3.4.2微分和积分方程组的向量-矩阵形式记法 67

3.4.3边界层函数的估计 68

3.4.4定理3.4.1的证明 75

3.4.5引理3.4.2的证明 82

3.5奇异摄动边值问题 83

3.5.1双边界层问题 83

3.5.2分块矩阵及其运算 84

3.5.3条件稳定，不变流形S+和S- 85

3.5.4边值问题的提法 93

3.5.5构造渐近展开式的算法 95

3.5.6基本定理的叙述 100

3.5.7边界函数的估计 101

3.5.8余项方程 101

3.6一般奇异摄动边值问题 104

参考文献 116

第4章 微分不等式理论和方法 117

4.1 Nagumo定理及其推广形式 117

4.1.1纯量问题 117

4.1.2向量问题 119

4.2二阶常微分方程 121

4.3高阶微分方程 124

4.4偏微分方程 129

参考文献 134

第5章 奇异奇摄动问题 137

5.1临界情况下的奇摄动初值问题 137

5.1.1定义、假设和辅助结果 137

5.1.2初值问题解的渐近构造 146

5.1.3定理的陈述和余项估计 150

5.2奇异奇摄动边值问题 153

5.2.1引论 153

5.2.2假设和形式级数的渐近展开 154

5.2.3存在唯一性结果 158

5.2.4 拟线性奇摄动方程组边值问题 159

5.2.5例子 161

参考文献 162

第6章 快-慢系统的慢流形和鸭解问题 164

6.1快-慢系统的慢流形 164

6.1.1引言 164

6.1.2慢流形定理 166

6.1.3慢流形的渐近近似 167

6.2鸭解问题及其研究概况 169

6.3平面系统中的鸭解问题 170

6.3.1临界流形为通有折情形 171

6.3.2 临界流形为相交曲线情形 173

6.4高维系统中的鸭解问题 175

6.4.1具有一个快变量的三维奇摄动系统 175

6.4.2一个表面氧化模型中的鸭现象 176

6.4.3高维奇异摄动系统的鸭流形 179

参考文献 180

第7章 转向点问题 183

7.1转向点理论的产生与发展 183

7.2 WKB方法 185

7.3 Langer变换 188

7.4线性方程的转向点问题与A-O共振 191

7.5非线性方程的转向点问题 196

参考文献 199

第8章 偏微分方程奇异摄动问题 202

8.1椭圆型方程奇异摄动问题 202

8.2奇异摄动问题的内层解 205

8.3两参数奇异摄动问题 207

8.4高阶方程奇异摄动问题 211

8.5长期型奇异摄动问题 213

8.6反应扩散方程奇异摄动问题的广义解 215

参考文献 218

第9章 奇异摄动的应用 220

9.1两个自由度的陀螺系统 220

9.1.1两个自由度的陀螺系统 220

9.1.2消除长期项 222

9.2薄板弯曲问题的匹配解 223

9.2.1薄板弯曲的挠度模型及其外部解 223

9.2.2环形薄板模型的内层解 224

9.2.3零次内层解及其与外部解匹配 225

9.2.4一次内层解及其与外部解匹配 227

9.2.5解的合成展开式 229

9.3非线性捕食-被捕食系统 230

9.3.1捕食-被捕食系统 230

9.3.2构造形式解 231

9.3.3一致有效性 234

9.4大气等离子体反应扩散模型 237

9.4.1等离子体反应扩散模型 237

9.4.2模型的外部解 238

9.4.3初始层校正项 239

9.4.4渐近解的一致有效性 240

9.4.5举例 241

参考文献 242

索引 244

《奇异摄动丛书》书目 246