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绪论 1

第一章 张量和外形式 6

1.1向量空间和对偶向量空间 6

1.1.1 n维向量空间 6

1.1.2对偶向量空间 10

1.1.3 Einstein和式约定 11

1.1.4向量空间及其对偶向量空间的基底变换 12

1.1.5向量空间及其对偶向量空间中元素的分量的变换公式 13

1.2张量 15

1.2.1协变张量 15

1.2.2 1阶反变、r阶协变的张量 17

1.2.3r阶反变、s阶协变的张量 19

1.2.4张量的缩并 21

1.2.5欧氏向量空间 22

1.3外形式 25

1.3.1r次外形式 25

1.3.2广义Kronecker-δ记号 26

1.3.3反对称化运算 27

1.3.4外积 27

1.3.5 r次外形式空间？rV*的基底 30

1.3.6外多项式 31

1.3.7线性映射的诱导映射 34

习题一 34

第二章 微分流形 37

2.1拓扑流形 37

2.1.1拓扑结构 37

2.1.2拓扑基 38

2.1.3连续函数和连续映射 40

2.1.4几个拓扑性质 40

2.1.5 n维拓扑流形 41

2.2光滑流形 43

2.2.1 C∞坐标覆盖 43

2.2.2 光滑流形的例子 45

2.2.3光滑函数和光滑映射 51

2.3单位分解定理 53

2.3.1截断函数 53

2.3.2 局部定义的光滑函数扩充成为大范围定义的光滑函数 56

2.3.3若干拓扑概念和引理 56

2.3.4单位分解定理 60

习题二 62

第三章 切向量场 65

3.1切空间 66

3.1.1切向量 66

3.1.2切空间 68

3.1.3切空间TpM的基底和维数 69

3.1.4切空间TpM的自然基底在局部坐标变换时的变换规律 72

3.1.5余切向量和余切空间 73

3.1.6切映射 75

3.1.7光滑映射在一点的秩 77

3.1.8余切映射 78

3.2切向量场 80

3.2.1切丛 80

3.2.2 C∞切向量场 82

3.2.3 C∞切向量场作为作用在光滑函数上的算子 84

3.2.4 C∞切向量场的Poisson括号积 87

3.2.5 C∞切向量场Poisson括号积的局部坐标表示 89

3.2.6在光滑流形之间的光滑映射下相关的光滑切向量场 92

3.3光滑流形上的单参数变换群 95

3.3.1单参数变换群 95

3.3.2单参数变换群的诱导切向量场 96

3.3.3局部单参数变换群 98

3.3.4 M上的光滑切向量场生成局部单参数变换群 100

3.3.5 紧致光滑流形上的光滑切向量场生成单参数变换群 105

3.3.6在C∞同胚下不变的光滑切向量场 110

3.3.7李导数 112

习题三 115

第四章 光滑张量场和外微分式 120

4.1光滑张量场 120

4.1.1（r，s）型张量丛 120

4.1.2光滑的（r，s）型张量场 122

4.1.3r阶协变张量场 123

4.1.4作为r重线性映射的r阶协变张量场 125

4.1.5r阶协变张量场的李导数 130

4.1.6r次外微分式 133

4.2外微分式的外微分 136

4.2.1外微分 136

4.2.2外微分运算唯一性的证明 136

4.2.3外微分运算存在性的证明 138

4.2.4外微分的求值公式 141

4.2.5拉回映射和外微分 145

4.3外微分式的积分 148

4.3.1向量空间的定向 148

4.3.2可定向微分流形 149

4.3.3可定向微分流形的判定定理 154

4.3.4 n次外微分式在n维有向光滑流形上的积分 155

4.4 Stokes定理 161

4.4.1微积分基本定理 161

4.4.2带边区域和它的边界 162

4.4.3有向光滑流形中带边区域的边界的诱导定向 163

4.4.4 Stokes定理 165

4.4.5 Stokes定理的证明 166

4.4.5.1 ∪∩？D=？的情形 166

4.4.5.2 ∪∩？D≠？的情形 167

习题四 170

第五章 李群的初步知识 174

5.1李群的定义 174

5.1.1定义 174

5.1.2李群的例子 174

5.1.3李群上的光滑同胚 177

5.2李群的李代数 177

5.2.1左不变向量场 177

5.2.2李群的李代数 179

5.2.3李群的结构常数的局部坐标表达式 180

5.2.4李氏基本定理 181

5.2.5若干计算实例 182

5.3 Maurer-Cartan形式 186

5.3.1左不变微分式 186

5.3.2左不变微分式构成李群的李代数的对偶向量空间 188

5.3.3左不变微分式的局部坐标表达式 188

5.3.4 Maurer-Cartan方程 189

5.4指数映射 195

5.4.1李群的单参数子群 195

5.4.2左不变向量场生成的单参数变换群 195

5.4.3由X？TeG生成的单参数子群θx 197

5.4.4指数映射及其性质 202

5.5李氏变换群 204

5.5.1李氏变换群的定义 204

5.5.2李氏变换群的例子 205

5.5.3有效作用和自由作用的李氏变换群 208

5.5.4基本向量场 209

习题五 213

第六章 联络 216

6.1联络的概念 217

6.1.1光滑流形上的联络 217

6.1.2联络的局部坐标表达式 217

6.1.3联络系数在局部坐标变换时的变换公式 219

6.1.4联络的存在性 222

6.1.5联络形式 224

6.2仿射联络空间 226

6.2.1光滑切向量场的协变导数和协变微分 226

6.2.2光滑张量场的协变导数和协变微分 228

6.2.3切向量沿曲线的平行移动 232

6.2.4挠率张量和曲率张量 233

6.2.5挠率张量和曲率张量是仿射联络空间偏离仿射空间的量度 237

6.2.6挠率形式和曲率形式 240

6.3黎曼流形上的黎曼联络 244

6.3.1黎曼几何的基本定理 244

6.3.2黎曼联络的联络形式 248

6.3.3黎曼曲率张量 252

6.3.4截面曲率 255

6.3.5常曲率空间的黎曼曲率张量 259

6.3.6 Ricci曲率和数量曲率 263

6.4向量丛上的联络论 266

6.4.1向量丛 266

6.4.1.1向量丛的定义 266

6.4.1.2转移函数族 268

6.4.1.3向量丛的截面 270

6.4.1.4黎曼向量丛 271

6.4.2向量丛上的联络 271

6.4.3曲率形式和Bianchi恒等式 273

6.4.4黎曼向量丛上的相容联络 275

6.4.5 Pontryagin示性类 277

6.4.5.1矩阵的特征多项式 277

6.4.5.2 Pontryagin示性式 278

6.4.5.3陈省身-Weil定理 280

6.4.6复向量丛和陈省身示性类 283

6.4.6.1复向量空间 283

6.4.6.2 Hermite向量空间 285

6.4.6.3复向量丛 287

6.4.6.4复向量丛上的联络 288

6.4.6.5 陈省身示性类 289

习题六 292

附录 一阶偏微分方程组的可积性 295

部分习题答案或提示 299

参考文献 315

索引 316