Finsler调和映射与Laplace算子PDF电子书下载

第1章 Finsler流形基础 1

1.1 Finsler度量和体积元 1

1.1.1 Finsler度量 1

1.1.2 射影球丛 2

1.1.3 体积元 5

1.2 Finsler流形上的联络 6

1.2.1 陈联络 6

1.2.2 共变导数 7

1.2.3 其他Finsler联络 8

1.2.4 射影球丛上的联络 9

1.3 测地系数与测地线 9

1.4 曲率 11

1.4.1 曲率张量 11

1.4.2 旗曲率与Ricci曲率 12

1.4.3 非黎曼曲率 13

1.5 特殊的Finsler度量 14

1.5.1 具有特殊曲率性质的Finsler度量 14

1.5.2 Randers度量 16

1.5.3 （α，β）度量 20

1.5.4 广义（α，β）度量 22

1.5.5 m次根度量 23

1.6 微分算子与积分公式 24

1.6.1 射影球丛上的散度和Laplace算子 24

1.6.2 射影球面上的积分公式 26

1.6.3 垂直平均值算子 29

1.6.4 流形上的散度公式 30

1.7 Finsler流形间的映射 31

1.7.1 拉回联络 31

1.7.2 等距浸入 34

1.8 复Finsler流形 35

1.8.1 复Finsler度量 35

1.8.2 Chern-Finsler联络 36

1.8.3 特殊的复Finsler度量 37

第2章 Finsler流形间的调和映射 39

2.1 能量泛函的第一和第二变分 39

2.1.1 能量泛函 39

2.1.2 第一变分 40

2.1.3 张力形式和张力场 41

2.1.4 第二变分 42

2.2 强调和映射的变分背景 44

2.2.1 垂直平均值截面 44

2.2.2 广义能量泛函 44

2.3 Bochner型公式 46

2.4 取值于向量丛的调和形式 50

2.4.1 底流形上取值于向量丛的调和形式 50

2.4.2 SM上取值于向量丛的调和形式 53

2.5 F-调和映射 55

2.5.1 F-能量泛函 55

2.5.2 第一变分 56

2.5.3 第二变分 58

2.6 从复Finsler流形到Hermitian流形的调和映射 60

2.6.1 能量密度 60

2.6.2 第一变分公式 61

第3章 Finsler调和映射的性质和应用 62

3.1 调和映射的稳定性 62

3.1.1 欧氏球面Sn（n＞2）与Finsler流形之间调和映射的稳定性 62

3.1.2 SSU流形与Finsler流形之间调和映射的稳定性 65

3.2 调和映射的复合性质 67

3.3 应力-能量张量及共形映射 69

3.3.1 应力-能量张量 69

3.3.2 共形调和映射 71

3.3.3 曲面上的调和映射 74

3.4 一些刚性定理 75

3.4.1 关于调和映射的刚性定理 75

3.4.2 关于强调和映射的刚性定理 78

3.5 调和映射的存在性 79

3.5.1 Eells-Sampson型定理 80

3.5.2 热流解的存在性 81

3.5.3 热流解的收敛性 83

3.5.4 定理3.5.1的证明 86

3.6 弱调和映射的正则性 86

3.7 到Randers空间的调和映射的性质 87

3.7.1 到Randers空间的调和映射 87

3.7.2 存在性 88

3.7.3 稳定性 91

3.8 F-调和映射的性质 93

3.8.1 F-调和映射的稳定性 93

3.8.2 F-应力能量张量 96

3.9 复Finsler调和映射的性质 99

3.9.1 复Finsler调和映射的存在性 99

3.9.2 同伦不变量 100

第4章 Finsler-Laplace算子及其第一特征值 102

4.1 Finsler-Laplace算子 102

4.1.1 平均Laplace算子 102

4.1.2 一个自然的Finsler-Laplace算子 103

4.1.3 由平均度量确定的Riemann-Laplace算子 103

4.1.4 Laplace算子的谱 105

4.2 平均Laplace算子的性质 106

4.3 广义（α，β）度量的平均Laplace算子 108

4.3.1 广义（α，β）度量的平均度量 108

4.3.2 广义（α，β）度量的平均Laplace算子 109

4.3.3 Randers度量的平均Laplace算子 110

4.4 平均Laplace算子的第一特征值 113

4.4.1 黎曼几何中关于第一特征值的一些结果 113

4.4.2 Berwald流形上平均Laplace算子的第一特征值 115

4.5 曲面上平均Laplace算子的第一特征值 120

第5章 非线性Finsler-Laplace算子及其第一特征值 124

5.1 非线性Finsler-Laplace算子 124

5.1.1 非线性Laplace算子的定义 124

5.1.2 Finsler流形上若干加权算子的性质 126

5.2 非线性Laplace算子的比较定理 129

5.3 非线性Laplace算子的第一特征值 132

5.3.1 第一特征函数存在性与正则性 132

5.3.2 加权Ricci曲率具有正下界时的第一特征值估计 133

5.3.3 加权Ricci曲率具有非负下界时的第一特征值估计 139

5.3.4 加权Ricci曲率具有负下界时的第一特征值估计 153

5.4 Finsler p-Laplace算子的第一特征值 156

5.4.1 第一特征函数的存在性 156

5.4.2 加权Ricci曲率具有正下界时的第一特征值估计 158

5.4.3 加权Ricci曲率具有负上界时的第一特征值估计 163

第6章 Finsler流形的HT-极小子流形 166

6.1 Finsler子流形 166

6.1.1 Finsler极小子流形 166

6.1.2 Gauss方程 167

6.1.3 全脐子流形 168

6.2 HT-体积的第一变分 171

6.3 强极小子流形及其变分背景 173

6.4 特殊Finsler流形的极小子流形 175

6.4.1 Minkowski空间的极小子流形 175

6.4.2 Randers空间的极小子流形 179

6.4.3 广义（α，β）空间的极小子流形 182

6.5 极小子流形的一些分类定理 187

6.5.1 （α，β）-Minkowski空间中极小曲面的分类 187

6.5.2 非Minkowski广义（α，β）空间中极小曲面的分类 193

6.5.3 射影平坦广义（α，β）空间中劈锥极小曲面的分类 196

第7章 HT-极小子流形的性质 199

7.1 HT-体积的第二变分 199

7.2 极小子流形的稳定性 202

7.2.1 Minkowski空间中极小超曲面的稳定性 202

7.2.2 极小图的稳定性 203

7.3 Bernstein型定理 205

7.3.1 广义（α，β）空间中的Bernstein型定理 205

7.3.2 Minkowski空间中极小图的Bernstein型定理 205

7.3.3 欧氏空间中极小超曲面的Bernstein型定理 207

7.3.4 Minkowski空间中稳定极小超曲面的Bernstein型定理 210

第8章 关于一般体积测度的极小子流形 213

8.1 关于一般体积测度的平均曲率 213

8.2 BH-极小子流形 215

8.2.1 （R3,F）中的极小曲面 215

8.2.2 高维（α，β）空间中极小超曲面 216

8.3 BH-极小子流形的Bernstein型定理 219

参考文献 221

索引 228