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第1章 极限与连续 1

1.1 微积分的起源 1

1.2 数列的极限 5

1.3 连续函数与函数的极限 16

1.4 极限的严格定义 30

1.4.1 极限的定义 30

1.4.2 用极限定义作证明 35

1.5 连续函数的性质 40

1.6 自然指数与自然对数 45

1.6.1 自然指数 45

1.6.2 自然对数 48

1.6.3 利用e的定义解极限 49

1.6.4 e之趣谈 52

1.7 等价无穷小代换 56

1.7.1 动机介绍 56

1.7.2 无穷小的分阶 57

1.7.3 等价无穷小代换 58

1.8 渐近线 63

1.8.1 水平渐近线 64

1.8.2 铅直渐近线 66

1.8.3 斜渐近线 67

第2章 微分学 73

2.1 导数的定义 73

2.2 导数的性质与幂函数的导函数 80

2.3 三角函数与指对数函数的导函数 91

2.4 高阶导数 96

2.5 链式法则 99

2.6 单侧导数 103

2.7 隐函数的求导 111

2.8 反函数的求导 117

2.9 取对数求导法 122

2.10 参数式求导 125

2.11 微分 131

第3章 微分学的应用 135

3.1 切线与法线 135

3.2 变率问题 140

3.3 函数的单调性与凹凸性 143

3.3.1 函数的单调性 143

3.3.2 函数的凹凸性 147

3.4 极值问题 153

3.4.1 一阶检定法 155

3.4.2 二阶检定法 157

3.5 绘制函数图形 160

3.6 微分中值定理 165

3.7 洛必达法则 170

3.7.1 洛必达法则的使用介绍 170

3.7.2 洛必达法则的误用探讨 176

第4章 积分学 181

4.1 积分的定义 181

4.2 积分的基本性质 191

4.3 微积分基本定理 196

4.3.1 微积分基本定理第一部分 196

4.3.2 微积分基本定理第二部分 200

4.4 不定积分 202

4.5 曲线间所围面积 206

第5章 积分技巧 211

5.1 分部积分 211

5.2 变量代换 217

5.2.1 第一换元法 217

5.2.2 第二换元法 223

5.3 三角代换 225

5.4 有理函数的积分：部分分式法 232

5.5 三角函数的积分 243

5.5.1 三角函数的幂次 243

5.5.2 含有sin（x）及cos（x）的有理式 252

5.5.3 巧妙的换元 254

5.6 反常积分 256

5.6.1 第一类反常积分（积分范围无界） 256

5.6.2 第二类反常积分（函数无界） 259

5.6.3 反常积分的敛散性 261

5.7 积分技巧杂谈 265

第6章 积分学的应用 276

6.1 曲线弧长 276

6.2 求体积 283

6.3 旋转体体积 287

6.3.1 圆盘法 287

6.3.2 剥壳法 291

6.4 旋转体的表面积 295

第7章 特殊函数 299

7.1 双曲函数 299

7.1.1 双曲函数的定义 299

7.1.2 双曲函数的基本公式 302

7.1.3 双曲函数的导函数 306

7.1.4 反双曲函数 306

7.1.5 反双曲函数的导函数 308

7.1.6 双曲函数在大一微积分中的应用 309

7.2 伽马函数 310

第8章 无穷级数 313

8.1 无穷级数的收敛与发散 313

8.2 积分审敛法 321

8.3 比较审敛法 326

8.4 比值审敛法与根值审敛法 331

8.5 交错级数审敛法 335

8.6 条件收敛与绝对收敛 341

8.7 幂级数 349

第9章 泰勒展开 356

9.1 泰勒展开：多项式逼近函数 356

9.1.1 泰勒展开式 356

9.1.2 间接展开法 360

9.2 多项式逼近的应用 368

9.3 泰勒定理与余项 373

9.4 幂级数的和函数 381

第10章 极坐标 390

10.1 极坐标简介 390

10.2 极坐标中的常见曲线 399

10.3 极坐标求面积 402

10.4 极坐标求弧长 409

第11章 多元函数的微分学 413

11.1 多元函数简介 413

11.2 多元函数的极限 416

11.3 偏导数 422

11.4 全微分 429

11.4.1 通俗不严谨的讨论 429

11.4.2 理论探讨 431

11.5 多元函数的链式法则 434

11.6 多元函数的隐函数求导 439

11.7 梯度、方向导数与切平面 443

11.7.1 梯度的定义 443

11.7.2 方向导数 443

11.7.3 切平面 449

11.8 多元函数的极值问题 450

11.9 条件极值：拉格朗日乘数法 456

第12章 重积分 466

12.1 二重积分 466

12.2 三重积分 480

12.3 重积分的换元法 488

12.4 极坐标代换 499

12.5 圆柱坐标代换 504

12.6 球坐标代换 508