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第1章 预备知识 1

1.1 线性代数 1

1.2 一元多项式的互素与整除 12

第2章 矩阵的分解式 18

2.1 几种常见的矩阵分解式 18

2.2 两个广义QR-分解 20

2.3 Schur引理、Hermite矩阵与正规矩阵 23

2.4 正规矩阵与实对称矩阵的谱分解 27

2.5 最小二乘法与矩阵的奇异值分解 31

2.6 Moore-Penrose广义逆 37

2.7 Hermite半正定矩阵与Cholesky分解 41

第3章 线性变换与Jordan标准形理论 46

3.1 线性空间：回顾与展望 46

3.2 线性变换：与矩阵的联系 47

3.3 内积空间与酉（正交）变换 56

3.3.1 内积空间 56

3.3.2 酉变换与正交变换 58

3.4 线性空间的σ-子空间直和分解式与分块对角矩阵 60

3.5 根子空间分解定理 63

3.6 Jordan标准形 67

3.7 张量积、商空间与外幂 75

3.7.1 两个线性空间（线性映射、矩阵）的张量积 75

3.7.2 线性空间关于某个子空间的商空间 80

3.7.3 外幂∧mFV 82

第4章 矩阵分析 85

4.1 矩阵的多项式／矩阵函数初探 87

4.2 范数 92

4.2.1 向量范数 92

4.2.2 矩阵范数 94

4.3 矩阵函数（续） 103

4.3.1 利用Jordan标准形求复变量函数的矩阵函数 103

4.3.2 单个矩阵的强收敛、收敛与幂有界性 104

4.3.3 A的特征多项式的导函数是A的特征矩阵tE-A的伴随矩阵的迹 105

4.4 特征值的估计（几个典型圆盘定理） 107

4.4.1 Gerschgorin圆盘 107

4.4.2 Ostrowski圆盘 110

4.4.3 Brauer定理 112

4.4.4 弱不可约矩阵Brualdi定理 113

4.5 正方阵与非负方阵 114

4.5.1 非负方阵的谱半径与正向量 115

4.5.2 正方阵与Perron定理 118

4.5.3 非负方阵的谱半径（续） 121

4.5.4 不可约非负方阵与Perron-Frobenius定理 124

4.6 随机矩阵的基本性质 130

第5章 应用关键词 134

5.1 在数学以及其他学科分支中的应用 134

5.2 矩阵的奇异值分解 135

5.3 非负矩阵的分解 135

5.4 矩阵的广义逆 136

参考文献 137

部分习题提示与解答 138

索引 151