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第7章 多元函数微分法及其应用 1

7.1 多元函数的基本概念 1

7.1.1 平面点集 1

7.1.2 多元函数概念 4

7.1.3 多元函数的极限 6

7.1.4 多元函数的连续性 9

7.2 偏导数 13

7.2.1 偏导数的概念 13

7.2.2 偏导数的几何意义 16

7.2.3 高阶偏导数 18

7.3 全微分 21

7.3.1 全微分的概念 21

7.3.2 全微分在近似计算中的应用 26

7.4 多元复合函数的求导法则 30

7.4.1 多元复合函数的微分法 30

7.4.2 全微分形式不变性 36

7.5 隐函数的求导公式 38

7.5.1 一个方程的情形 38

7.5.2 方程组的情形 41

7.6 多元函数微分学的几何应用 46

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 46

7.6.2 曲面的切平面与法线 51

7.7 方向导数与梯度 55

7.7.1 方向导数 55

7.7.2 梯度 58

7.8 多元函数的极值及其应用 62

7.8.1 多元函数的极值与最值 62

7.8.2 条件极值·拉格朗日乘数法 67

7.9 最小二乘法 72

总习题7 77

实验7 多元函数的极限及偏导数的计算 80

第8章 重积分 82

8.1 二重积分 82

8.1.1 二重积分的概念 82

8.1.2 二重积分的性质 85

8.1.3 平面区域的表示 87

8.2 二重积分的计算 90

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分 90

8.2.2 利用极坐标计算二重积分 95

8.2.3 一般变换计算二重积分 100

8.3 三重积分 106

8.3.1 三重积分的概念 106

8.3.2 三重积分的计算 107

8.4 重积分的应用 116

8.4.1 曲面的面积 116

8.4.2 质心 119

8.4.3 转动惯量 121

8.4.4 引力 123

总习题8 126

实验8 重积分 128

第9章 曲线积分与曲面积分 130

9.1 对弧长的曲线积分 130

9.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 130

9.1.2 对弧长的曲线积分的计算 132

9.2 对坐标的曲线积分 137

9.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 137

9.2.2 对坐标的曲线积分的计算 140

9.2.3 两类曲线积分之间的联系 145

9.3 格林公式及其应用 149

9.3.1 格林公式 149

9.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 153

9.3.3 二元函数的全微分求积 156

9.4 对面积的曲面积分 160

9.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 160

9.4.2 对面积的曲面积分的计算 162

9.5 对坐标的曲面积分 166

9.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 166

9.5.2 对坐标的曲面积分的计算 171

9.5.3 两类曲面积分之间的联系 173

9.6 高斯公式 通量与散度 176

9.6.1 高斯公式 176

9.6.2 曲面积分与积分曲面无关的条件 179

9.6.3 通量与散度 180

9.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 184

9.7.1 斯托克斯公式 184

9.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 189

9.7.3 环流量与旋度 189

总习题9 192

实验9 曲线积分与曲面积分 195

第10章 无穷级数 198

10.1 常数项级数的概念与性质 199

10.1.1 常数项级数 199

10.1.2 收敛级数的基本性质 202

10.1.3 柯西审敛原理 205

10.2 正项级数 207

10.2.1 比较审敛法 208

10.2.2 比值审敛法和根值审敛法 212

10.2.3 柯西积分审敛法 215

10.3 任意项级数 217

10.3.1 交错级数 217

10.3.2 绝对收敛与条件收敛 219

10.4 幂级数 224

10.4.1 函数项级数的概念 225

10.4.2 幂级数及其收敛性 225

10.4.3 幂级数的运算 231

10.5 函数展开成幂级数 234

10.5.1 泰勒级数 235

10.5.2 函数展开成幂级数的方法 237

10.5.3 函数的幂级数展开式的应用 244

10.6 傅里叶级数 246

10.6.1 三角函数系及其正交性 246

10.6.2 函数展开成傅里叶级数 248

10.6.3 傅里叶级数的收敛性 249

10.6.4 正弦级数和余弦级数 254

10.7 一般周期函数的傅里叶级数 259

10.7.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 259

10.7.2 傅里叶级数的复数形式 263

总习题10 265

实验10 无穷级数 269

第11章 微分方程 276

11.1 微分方程的基本概念 276

11.2 可分离变量的微分方程与齐次方程 281

11.2.1 可分离变量的微分方程 282

11.2.2 齐次方程 287

11.3 一阶线性微分方程 291

11.3.1 一阶线性方程的解法 291

11.3.2 伯努利方程 296

11.4 全微分方程 299

11.5 可降阶的高阶微分方程 303

11.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 304

11.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 305

11.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 307

11.6 二阶线性微分方程 310

11.7 二阶常系数齐次线性微分方程 314

11.8 二阶常系数非齐次线性微分方程 320

11.8.1 f（x）＝Pm（x）e rx型 320

11.8.2 f（x）＝e ax［Pl（x）cosβx＋Pn（x）sinβx］型 323

11.8.3 欧拉方程 326

11.9 微分方程的幂级数解法 329

总习题11 332

实验11 常微分方程的求解 334

参考答案 340