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第一章 线性方程组与矩阵 1

第一节 矩阵的概念及运算 1

一、矩阵的定义 1

二、矩阵的线性运算 3

三、矩阵的乘法 4

四、矩阵的转置 6

习题1-1 7

第二节 分块矩阵 8

一、分块矩阵的概念 8

二、分块矩阵的运算 10

习题1-2 13

第三节 线性方程组与矩阵的初等变换 14

一、矩阵的初等变换 14

二、求解线性方程组 18

习题1-3 22

第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 23

一、方阵的逆矩阵 24

二、初等矩阵 25

三、初等矩阵与逆矩阵的应用 26

习题1-4 29

本章小结 31

拓展阅读 32

测试题一 33

第二章 方阵的行列式 35

第一节 行列式的定义 35

一、排列 35

二、n阶行列式 37

三、几类特殊的n阶行列式的值 39

习题2-1 41

第二节 行列式的性质 41

一、行列式的性质 41

二、行列式的计算举例 45

三、方阵可逆的充要条件 48

习题2-2 50

第三节 行列式按行（列）展开 51

一、余子式与代数余子式 52

二、行列式按行（列）展开 52

习题2-3 57

第四节 矩阵求逆公式与克莱默法则 58

一、伴随矩阵与矩阵的求逆公式 58

二、克莱默法则 59

习题2-4 62

本章小结 63

拓展阅读 64

测试题二 65

第三章 向量空间与线性方程组解的结构 67

第一节 向量组及其线性组合 67

一、向量的概念及运算 67

二、向量组及其线性组合 69

三、向量组的等价 71

习题3-1 74

第二节 向量组的线性相关性 74

一、向量组的线性相关与线性无关 75

二、向量组线性相关性的一些重要结论 77

习题3-2 80

第三节 向量组的秩与矩阵的秩 81

一、向量组秩的概念 81

二、矩阵秩的概念 82

三、矩阵秩的求法 83

四、向量组的秩与矩阵的秩的关系 85

习题3-3 87

第四节 线性方程组解的结构 88

一、线性方程组有解的判定定理 88

二、齐次线性方程组解的结构 90

三、非齐次线性方程组解的结构 94

习题3-4 96

第五节 向量空间 97

一、向量空间及其子空间 97

二、向量空间的基、维数与坐标 99

三、基变换与坐标变换 101

习题3-5 103

本章小结 105

拓展阅读 106

测试题三 107

第四章 相似矩阵及二次型 109

第一节 向量的内积、长度及正交性 109

一、向量的内积、长度 109

二、正交向量组 110

三、施密特正交化过程 112

四、正交矩阵 113

习题4-1 115

第二节 方阵的特征值与特征向量 115

一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法 116

二、方阵的特征值与特征向量的性质 119

习题4-2 121

第三节 相似矩阵 122

一、方阵相似的定义和性质 122

二、方阵的相似对角化 123

习题4-3 124

第四节 实对称矩阵的相似对角化 125

一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 125

二、实对称矩阵的相似对角化 126

习题4-4 129

第五节 二次型及其标准形 129

一、二次型及其标准形的定义 130

二、用正交变换化二次型为标准形 131

三、用配方法化二次型为标准形 134

习题4-5 135

第六节 正定二次型与正定矩阵 136

一、惯性定理 136

二、正定二次型与正定阵 137

习题4-6 138

本章小结 139

拓展阅读 140

测试题四 141

第五章 线性空间与线性变换 143

第一节 线性空间的定义与性质 143

一、线性空间的定义 143

二、线性空间的性质 145

三、线性空间的子空间 146

习题5-1 147

第二节 维数、基与坐标 147

一、线性空间的基、维数与坐标 147

二、基变换与坐标变换 149

习题5-2 150

第三节 线性变换 151

一、线性变换的定义 151

二、线性变换的性质 153

三、线性变换的矩阵表示式 154

习题5-3 158

本章小结 161

拓展阅读 162

测试题五 163

部分习题答案 165