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第一篇 心灵智慧 3

一、集合与自然数 3

1.数的发展 3

2.第一次数学危机 4

3.质数，100以内的质数 5

4.质数的无穷性 5

5.质数的性质 6

6.质数判定法则 6

7.质数的分布 6

8.关于质数的著名猜想 7

9.关于质数的著名难题 7

10.费马小定理 9

11.费马大定理 10

12.质数的应用 11

13.无限集的元素个数 12

14.希尔伯特旅馆 14

15.集合论 15

16.悖论与罗素悖论 16

17.第三次数学危机 17

二、方程与不等式 19

1.方程的发展 19

2.方程的定义 21

3.方程的类别 22

4.方程的同解性质 22

5.一元三次方程的解公式 23

6.代数基本定理 23

7.不定方程与中国剩余定理（孙子定理） 23

8.韦达定理 24

9.代数数与超越数 26

10.被誉为史上最伟大的17个方程 27

11.几个著名不等式 30

三、函数 32

1.十七世纪的函数概念 32

2.十八世纪的函数概念 33

3.十九世纪的函数概念 34

4.二十世纪的函数概念 35

5.中文“函数”名称的由来 35

6.目前我国中学教材中函数的定义 35

7.幂 36

8.对数发明的背景 36

9.对数产生的前奏 36

10.对数的发明 37

11.纳皮尔发明对数的思想方法 38

四、三角 40

1.三角学概述 40

2.三角学在西方的发展 40

3.三角学在中国的发展 41

4.三角函数从“线段长”到“比值”的演进 42

5.正弦、余弦的发展 43

6.正切、余切的发展 43

7.正割、余割的发展 44

8.三角函数的符号 44

9.球面几何及球面三角学的简单结论 45

五、数列 47

1.调和级数的发散性 47

2.自然数的幂和公式 48

3.自然数平方幂的倒数和 49

4.归纳 50

5.数学归纳法 51

6.第一数学归纳法 51

7.第二数学归纳法 51

8.数学归纳法的合理性 52

9.斐波那契数列 52

10.斐波那契数列的代数性质 55

11.斐波那契数列的自然性质 56

12.斐波那契数列的美学性质 56

六、复数 57

1.复数的产生 57

2.复数的发展 57

3.复数的成熟 58

4.复数的表示形式 59

5.复数的特性 59

6.卡当公式 59

7.欧拉公式 60

8.欧拉公式的应用 60

9.哈密尔顿与其四元数 61

七、概率论初步 63

1.杨辉三角形、帕斯卡三角形 63

2.二项式定理 64

3.二项式定理验证推导 65

4.二项式定理推广 65

5.概率论创立的背景 66

6.概率论创立的肇因 66

7.概率论的发展 67

8.概率论的严格化和公理化 68

9.概率悖论 68

10.概率分析的经典案例 69

11.无限猴子定理 71

八、平面几何 73

1.欧几里得几何 73

2.几何三大难题 74

3.非欧几何的产生 74

4.勾股定理 76

5.勾股定理的几种典型证明 77

6.三角形的重心、垂心、外心、内心、旁心 78

7.三角形重心、垂心、外心、内心、旁心诸定理的证明 79

8.平面几何四个重要定理 82

9.蝴蝶定理 82

10.莫勒定理 83

11.费马“三村短路”问题 84

12.许瓦兹三角形问题 86

13.等周问题 87

九、立体几何 90

1.立体几何的属性 90

2.祖暅原理 90

3.简单多面体的欧拉公式 91

4.辛卜生公式 93

5.蜂巢问题 97

6.等腰四面体的充要条件 99

十、平面解析几何 103

1.解析几何的产生 103

2.极坐标 104

3.几种常见曲线的极坐标方程 105

4.圆锥曲线 106

5.“冰淇淋”定理 107

6.圆锥曲线研究的发展 108

十一、微积分初步 109

1.微积分思想的西方发展 109

2.微积分思想的东方发展 110

3.牛顿的“流数术” 110

4.莱布尼茨的“切线”分析 111

5.发明权之争 112

6.芝诺悖论 112

7.第二次数学危机 113

8.第二次数学危机的基本解决 114

第二篇 旷世伟人 117

一、数学之神——阿基米德 117

1.非凡贡献 117

2.数学之神 118

3.传奇人生 120

二、光明使者——牛顿 122

1.名言 122

2.经历 123

3.自然科学成就 124

4.数学成就 125

5.地位 125

三、数学王子——高斯 127

1.经历 127

2.成就 129

3.地位 130

四、所有人的老师——欧拉 132

1.全能数学家 132

2.经历 133

3.成就 134

五、业余数学之王——费马 136

1.对数论的贡献 136

2.对解析几何的贡献 137

3.对微积分的贡献 138

4.对概率论的贡献 138

5.对光学的贡献 138

6.平静而雅致的人生 138

六、数学世界的亚历山大——希尔伯特 140

1.经历 140

2.研究 141

3.论著 142

4.轶事 142

5.希尔伯特23个数学问题 143

七、集合论创始人——康托尔 146

1.生平 146

2.集合论的建立 147

3.超穷数理论的建立 148

4.逆境 148

5.曙光 149

八、几何之父——欧几里得 150

1.身世 150

2.轶事 151

3.几何原本 152

4.其他著作 152

5.历史地位 153

九、解析几何创始人——笛卡儿 154

1.巨匠生平 154

2.数学成就 156

3.笛卡儿坐标系 156

4.轶事：蜘蛛织网 156

5.故事：心脏线 157

十、东方数学泰斗——祖冲之 158

1.家世背景 158

2.早年经历 159

3.中年经历 159

4.晚年生活 159

5.非凡创举——祖率 160

6.数学杰作——《缀术》 160

7.天文成就——历法 161

8.其他成就 161

9.将门虎子 161

第三篇 恢宏巨著 165

一、《几何原本》 165

1.概要 165

2.体系 166

3.影响 169

4.缺憾 169

5.传入中国 170

二、《圆锥曲线论》 171

1.作者简介 171

2.风格特点 172

3.内容结构 173

三、《九章算术》 174

1.作品背景 174

2.主要内容 175

3.特点与影响 177

四、《自然哲学之数学原理》 178

1.全书概述 178

2.风格特点 179

3.内容结构 179

4.历史地位 181

参考文献 182