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第1章 预备知识 1

1.1 集合 1

1．集合的概念 1

2．集合的运算 2

1.2 实数集 4

1．实数与数轴 4

2．实数的绝对值 4

3．区间与邻域 5

1.3 映射 6

1．映射的概念 6

2．几种特殊映射 7

1.4 函数 8

1．函数的概念 8

2．函数的几种特性 11

1．反函数 13

1.5 反函数与复合函数 13

2．复合函数 15

1.6 初等函数 15

1．基本初等函数 15

2．初等函数 19

实验空间 数学实验简介 22

复习题一 24

第2章 极限与连续 27

2.1 数列的极限 27

1．数列极限的定义 27

2．收敛数列的性质 30

习题2-1 32

2.2 函数的极限 33

1．函数极限的定义 33

2．函数极限的性质 38

1．无穷小 39

习题2-2 39

2.3 无穷小与无穷大 39

2．无穷大 41

3．无穷小与无穷大的关系 42

习题2-3 42

2.4 极限的运算法则 43

1．极限的四则运算法则 43

2．复合函数的极限法则 47

习题2-4 48

2.5 极限存在准则 两个重要极限 49

1．极限存在准则Ⅰ与重要极限？ 49

2．极限存在准则Ⅱ与重要极限？ 51

3．柯西收敛原理 54

2.6 无穷小的比较 55

1．无穷小阶的定义 55

习题2-5 55

2．等价无穷小的性质 57

3．无穷小的主部 58

实验空间 用MATLAB求极限 59

习题2-6 60

2.7 函数的连续性 60

1．函数连续的定义 60

2．函数的间断点 63

习题2-7 64

2.8 连续函数的运算法则与初等函数的连续性 65

1．连续函数的运算法则 65

2．初等函数的连续性 65

3．连续性在极限计算中的应用 66

考研园地 用重要极限求极限 67

1．最大值最小值定理 68

习题2-8 68

2.9 闭区间上连续函数的性质 68

2．介值定理与零点定理 69

习题2-9 70

复习题二 71

第3章 导数与微分 73

3.1 导数的概念 73

1．导数的定义 73

2．求导数举例 76

3．单侧导数 78

考研园地 求单侧导数 79

4．导数的几何意义 79

考研园地 切线问题 80

5．可导与连续的关系 80

习题3-1 81

1．函数的和、差、积、商的求导法则 82

3.2 函数的求导法则 82

2．反函数的求导法则 85

3．复合函数的求导法则 86

4．初等函数的导数 88

习题3-2 90

3.3 隐函数及参数方程所确定的函数的导数相关变化率 91

1．隐函数的导数 91

2．参数方程所确定的函数的导数 93

3．相关变化率 94

习题3-3 95

3.4 高阶导数 96

考研园地 求导问题 99

实验空间 用MATLAB求函数的导数 100

习题3-4 101

1．微分的定义 102

3.5 函数的微分 102

2．微分的几何意义 104

3．微分基本公式与法则 104

4．微分在近似计算中的应用 106

习题3-5 109

复习题三 111

第4章 中值定理与导数的应用 113

4.1 中值定理 113

1．罗尔（Rolle）定理 113

2．拉格朗日（Lagrange）定理 114

3．柯西（Cauchy）定理 117

考研园地 用拉格朗日定理求证 118

习题4-1 118

1．未定式？型的极限求法 119

4.2 洛必达法则 119

2．未定式？型的极限求法 121

3．其他类型的未定式极限的求法 122

考研园地 用洛必达法则求极限 123

习题4-2 123

4.3 泰勒公式 124

1．泰勒公式 124

2．泰勒公式的应用 127

考研园地 泰勒公式的应用 129

习题4-3 130

4.4 函数单调性的判别法 130

考研园地 用单调性证明不等式 132

习题4-4 133

4.5 函数的极值 133

1．函数极值的定义 133

2．函数极值的判定和求法 134

习题4-5 137

考研园地 极值问题 137

4.6 函数的最大值和最小值 138

考研园地 用最大值和最小值证明不等式 140

实验空间 用MATLAB求函数的最大值和最小值 140

习题4-6 140

4.7 函数的凹凸性与拐点 141

习题4-7 144

4.8 函数图形的描绘 144

1．曲线的渐近线 144

2．函数图形的描绘 146

考研园地 函数的图形问题 148

实验空间 用MATLAB作函数的图形 149

习题4-8 149

1．弧微分 150

4.9 曲率 150

2．曲率及其计算公式 152

3．曲率圆和曲率半径 154

习题4-9 155

复习题四 156

第5章 不定积分 158

5.1 不定积分的概念 158

1．原函数的概念 158

2．不定积分的定义 159

3．不定积分的几何意义 160

习题5-1 161

5.2 不定积分的基本公式和运算法则 162

1．不定积分的基本公式 162

2．不定积分的运算法则 164

习题5-2 165

1．第一类换元积分法 166

5.3 换元积分法 166

2．第二类换元积分法 169

习题5-3 174

5.4 分部积分法 174

考研园地 求不定积分问题 179

习题5-4 179

5.5 几种初等函数的积分 179

1．有理函数的积分 179

2．三角函数有理式的积分举例 184

考研园地 有理三角函数的不定积分 186

实验空间 用MATLAB求不定积分 186

习题5-5 187

复习题五 187

1．两个实例 189

第6章 定积分及其应用 189

6.1 定积分的概念与性质 189

2．定积分的定义 191

3．定积分的几何意义 193

4．定积分的性质 194

考研园地 用定积分的几何意义解题 198

习题6-1 198

6.2 微积分基本公式 199

1．积分上限的函数及其导数 199

考研园地 关于变限积分的问题 201

2．微积分基本公式 201

习题6-2 203

6.3 定积分的换元积分法与分部积分法 204

1．定积分的换元积分法 204

2．定积分的分部积分法 207

考研园地 用定积分的换元法解题 207

考研园地 用定积分的分部积分法解题 209

习题6-3 210

6.4 广义积分 211

1．无限区间上的广义积分 211

考研园地 广义积分问题 213

2．无界函数的广义积分 213

3．Г函数 215

实验空间 用MATLAB求定积分和广义积分 217

习题6-4 218

6.5 定积分在几何上的应用 219

1．平面图形的面积 219

2．空间立体的体积 222

3．平面曲线的弧长 225

考研园地 定积分的几何应用问题 227

习题6-5 228

6.6 定积分在物理上的应用 229

1．功 229

2．液体的压力 231

考研园地 定积分的物理应用问题 232

习题6-6 233

复习题六 233

第7章 微分方程 235

7.1 微分方程的概念 235

习题7-1 238

7.2 可分离变量的微分方程 239

习题7-2 244

7.3 齐次方程 244

1．齐次方程及其解法 244

2．可化为齐次方程的微分方程 247

1．一阶线性微分方程 249

习题7-3 249

7.4 一阶线性微分方程 249

2．伯努利方程 254

考研园地 伯努利方程的求解问题 255

习题7-4 255

7.5 可降阶的二阶微分方程 256

1．y″=f（x,y′）型的微分方程 256

2．y″=f（y,y′）型的微分方程 258

考研园地 微分方程应用题 259

习题7-5 260

7.6 线性微分方程解的结构 260

1．二阶线性微分方程解的结构 260

2．n阶线性微分方程解的结构 262

习题7-6 263

1．二阶常系数齐次线性微分方程 264

7.7 常系数线性微分方程 264

2．n阶常系数齐次线性微分方程 270

习题7-7 271

7.8 常系数非齐次线性微分方程 271

考研园地 二阶线性微分方程的求解问题 276

习题7-8 278

7.9 欧拉方程 278

习题7-9 281

7.10 常系数线性微分方程组解法举例 281

实验空间 用MATLAB求解微分方程 283

习题7-10 284

复习题七 285

附录一 MATLAB常用函数表 287

附录二 部分数学词汇汉英对照 289

附录三 本书出现的部分数学家简介 290

部分习题的答案或提示 292