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总序 徐崇文 1

前言 1

一、趣味篇 2

1.1　科学家做过的名题 2

1．爱因斯坦问题 2

2．狄拉克问题 3

3．华罗庚问题 4

4．高斯问题 5

1．考倒少年大学生的趣题 6

1.2　广为流传的两道趣题 6

2．一道轰动美国的数学题 8

1.3　数学黑洞 9

1．有趣的“3x+1”游戏 10

2．由自生成数形成的黑洞 12

1.4　北极狐狸为什么是圆脸？ 14

1．伯格曼的发现 14

2．动物也“懂”数学 15

1.5　迷人的π 17

1．圆周率定义剪影 17

2．用π表示圆周率的由来 18

3．π的计算 20

4．π的性质 34

5．π与弧度制 37

6．π的趣闻轶事 39

1.6　神秘的e 44

1．速算大师的秘密 44

2．为何取e作对数的底？ 46

3．e的定义 50

4．数学殿堂中的e 53

5．e的广泛应用 63

6．揭示e的“质”与“量” 75

2．如何比较无限集的大小？ 79

1.7　奇妙的∞ 79

1．“乱世”出英雄 79

3．“奇怪”的结论 80

4．希尔伯特旅店 82

5．所有的无穷是否一样多？ 82

1.8　数学上的三次危机 83

1．第一次数学危机 84

2．第二次数学危机 85

3．第三次数学危机 86

1.9　邮票上的数学 87

1．计算技术的进步 88

2．重大数学成果 90

3．中国的数学和数学家 93

4．其他 97

1.10　数学与艺术 100

1．数学与建筑 100

2．数学与美术 106

3．数学与音乐 112

1.11　神奇的幻方 114

1．洛水神龟献幻方 114

2．幻方世界 117

3．变形幻方 119

4．幻方的性质 122

1.12　最优美的数学公式 123

1.13　学会欣赏数学 126

1．数学是美丽的 126

2．数学美的体现 127

二、方法篇 134

2.1　数学离不开猜想 134

1．猜想是数学家的金拐杖 134

2．费尔马大定理 135

3．辩证地认识数学的“严格” 136

1．分析法 137

2.2　分析与综合 137

2．综合法 138

2.3　试验、归纳是猜想的源泉 140

1．从哥德巴赫猜想说起 140

2．完全归纳法 141

3．不完全归纳法 142

2.4　类比给你智慧 145

1．类比法 145

2．类比的类型 145

3．类比猜想 147

4．类比的误区 150

2.5　出奇制胜的反例 151

1．反例反驳 151

2．出奇制胜的反例 151

2.6　数学应用的利器——MM方法 155

1．数学模型方法 155

2．数学模型的建立 158

3．数学模型在解题中的作用 160

4．数学模型方法的现代应用 164

2.7　穷则思变——化归方法 166

1．什么是化归方法 166

2．化归方法的基本原则 167

3．实现化归的几种常用方法 169

4．化归方法的局限性 173

2.8　不进则退——特殊化方法 174

1．什么是特殊化？ 174

2．用特殊化解决问题的过程 175

3．特殊化方法的应用 175

4．辩证地看待特殊化 182

2.9　正难则反——反证法 182

1．什么是反证法？ 182

2．使用反证法应注意的问题 184

3．何时使用反证法 186

4．反证法与直接证法相辅相成 188

2.10　化整为零各个击破——分类方法 189

1．分类及其标准 189

2．分类的原则 191

3．分类讨论的解题策略 192

2.11　数形结合百般好 196

1．数形结合方法 196

2．数形结合方法的应用 198

3．“数形结合”的局限性 203

1．克服思维定势的妙法 206

2.12　换个角度看问题 206

2．诱导数学创新的法宝 208

2.13　奇妙的构造法 210

1．直接构造法 210

2．构造辅助性数学模型 211

3．不可迷信构造法 218

2.14　让潜意识驰骋 221

三、应用篇 226

3.1　方程 226

1．如何制定牙膏的合理价格？ 226

2．开放几个检票口最佳 228

3．养老金的投放 230

4．公交汽车调度 231

5．是以批发价购买还是以零售价购买？ 235

3.2　函数 236

1．公民缴纳个人所得税的计算 236

2．仓库的合理利用 240

3．蔬菜运输方式的选择 242

4．运油率的计算 245

5．鱼的售价调控 248

6．汽车运输成本的控制 252

7．自来水供应的调节 253

8．如何“打的”最省钱？ 254

9．广告投放策略 257

10．十字路口的最佳车速 258

11．电力供需矛盾 262

3.3　三角 264

1．客运票价的合理制定 264

2．潮汐水位的预测 266

3．如何切割损耗最小？ 269

3.4　几何 272

1．从上海飞往洛杉矶为何途经阿拉斯加？ 272

2．测飞机的高度和时速 275

3．哪一种蜂窝煤灶火力更旺？ 277

4．学生距黑板多远时视角最大？ 279

3.5　数列 281

1．城市汽车数量的控制 281

2．砌砖中的数学 283

3．学会数学阅读 287

3.6　轨迹 292

1．追击走私船 292

2．藏宝地在哪儿？ 295

3．确定爆炸点的距离 296

4．如何确定运送化肥的路径 299

5．蔬菜的生产与销售策略 301

3.7　线性规划、统筹与概率 303

1．生产哪种蛋糕利润最大？ 303

2．合理施肥 305

3．树形图的魅力 310

4．求最短工期 314

5．如何确定通道的条数？ 317

四、研究篇 322

4.1　数学思想方法类 322

个案1　浅议数学模型方法 322

个案2　特殊化方法初探 326

4.2　解题经验总结类 329

个案3　高中数学解题的基本方法 330

个案4 运用“数学美”诱发解题思路初步探讨 336

4.3　数学应用类 344

个案5　用数学优化生活的尝试 345

个案6　数学在现实生活中的应用 350

4.4　知识拓展类 354

个案7　奇妙的“分形” 355

个案8　数学与逻辑的关系 360

主要参考文献 363