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一“万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论 1

1.1 毕达哥拉斯学派的信条 万物皆数 1

1.2 第一个无理数 2

1.3 无理数之谜 3

1.4 连续性的奥秘 4

1.5 戴德金分割 6

1.6 连续归纳原理 7

1.7 “万物皆数”的再生 9

二 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理” 11

2.1 欧几里得的公理方法 11

2.2 欧几里得的几何定理是真理吗 12

2.3 非欧几何的发现 13

2.4 哪一个是真的 15

2.5 公理是什么 17

三 变量·无穷小·量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念 19

3.1 数学怎么描述运动与变化 20

3.2 瞬时速度 22

3.3 微分是量的鬼魂吗 24

3.4 无穷小量的再生 26

四 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念 28

4.1 伽利略的困惑 29

4.2 康托，闯入无穷王国的先锋 30

4.3 希尔伯特的“无穷旅店” 32

4.4 所有的无穷都一样吗 33

4.5 自然数究竟有多少 37

五 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机 40

5.1 逻辑 集合——数 40

5.2 罗素悖论 42

5.3 集合的层次理论 43

5.4 集合论的公理化 44

5.5 连续统假设 45

5.6 地平线仍在前方 46

六 数是什么——对数学对象本质的几种看法 49

6.1 “ 1”是什么 49

6.2 柏拉图主义————数存在于理念世界 51

6.3 唯名论观点 数是纸上的符号或头脑中特定的概念 54

6.4 康德：数是思维创造的抽象实体 55

6.5 约定论的观点——数学规则不过是人的约定 56

6.6 逻辑主义——算术是逻辑的一部分 56

6.7 直觉主义——数学概念是自主的智力活动 58

6.8 形式主义把数学化为关于有限符号排列的操作 60

七 是真的，但又不能证明——哥德尔定理 63

7.1 哥德尔定理 65

7.2 说谎者悖论与理查德悖论 66

7.3 算术有多少种 67

7.4 数学的力量与局限 69

八 数学与结构——布尔巴基学派的观点 71

8.1 在逻辑长链的背后 72

8.2 形形色色的加法 75

8.3 基本的结构 78

8.4 分析与综合的艺术 81

九 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考 85

9.1 两种对立的哲学观点 86

9.2 从偶然产生必然 91

9.3 从必然产生偶然 93

9.4 一场风或一口痰能影响民族的命运吗 95

9.5 什么叫必然 什么叫偶然 97

十 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一 101

10.1 例证法——用演绎支持归纳 101

10.2 几何定理也能用例子证明 103

10.3 进一步的思考 106

十一 数学与哲学随想 109

11.1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小 109

11.2 数学始终在影响着哲学 110

11.3 抽象与具体 112

11.4 涉及具体问题时，语言必须精确严格 113

11.5 个别与一般 114

11.6 事物与概念 116

11.7 “我不需要这个假设” 117

11.8 证实与证伪 118

11.9 数学世界是人的创造，但它是客观的 119

11.10 事物的总体性 120

11.11 变化中的不变 121

11.12 预言 123

11.13 “没有两件事物完全一样” 124

11.14 物极必反 125

11.15 量变与质变 125

11.16 罗素与“事素” 127