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第1章　微积分 1

1.1　函数与极限 1

1.1.1　函数的基本概念 1

1.1.2　初等函数 5

1.1.3　数列的极限 9

1.1.4　函数的极限 10

1.1.5　无穷小与无穷大 14

1.1.6　极限的运算法则 16

1.1.7　极限存在的准则，两个重要极限 19

1.1.8　无穷小的比较 23

1.1.9　函数的连续性与间断点 24

1.1.10　闭区间上连续函数的性质 27

习题1.1 28

1.2.1　导数的概念 30

1.2　导数与微分 30

1.2.2　初等函数的导数 33

1.2.3　高阶导数 39

1.2.4　隐函数的导数 40

1.2.5　函数的微分 42

习题1.2 45

1.3　中值定理与导数的应用 46

1.3.1　中值定理 46

1.3.2　洛必达法则 50

1.3.3　泰勒公式 52

1.3.4　函数单调性的判定 54

1.3.5　函数的极值与最值 56

1.3.6　曲线的凹向与拐点 57

习题1.3 59

1.4　不定积分 60

1.4.1　不定积分的概念与性质 60

1.4.2　一类换元积分法与分部积分法 62

1.4.3　二类换元积分法 67

习题1.4 69

1.5　定积分 71

1.5.1　定积分的概念 71

1.5.2　定积分的性质 73

1.5.3　微积分基本公式 75

1.5.4　定积分的计算 77

1.5.5　广义积分 80

1.5.6　定积分的应用 82

习题1.5 89

1.6　常微分方程简介 90

1.6.1　微分方程的基本概念 90

1.6.2　一阶微分方程 91

1.7　无穷级数 96

1.7.1　常数项级数的概念与性质 96

习题1.6 96

1.7.2　常数项级数的审敛法 100

1.7.3　幂级数 107

1.7.4　函数的幂级数展开 112

1.7.5　傅里叶级数 115

习题1.7 123

参考资料 124

第2章　线性代数 126

2.1　行列式 126

2.1.1　二阶和三阶行列式 126

2.1.2　n阶行列式的概念 127

2.1.3　行列式的性质 130

2.1.4　行列式按某一行（列）展开 133

2.1.5　克拉默法则 136

习题2.1 139

2.2.1　矩阵的概念 140

2.2　矩阵 140

2.2.2　矩阵的运算 141

2.2.3　几种特殊的矩阵 144

2.2.4　逆矩阵 145

2.2.5　矩阵的初等变换 148

习题2.2 154

2.3　向量与线性方程组 156

2.3.1　消元法 156

2.3.2　向量的基本概念 161

2.3.3　向量间的线性关系 163

2.3.4　向量组的极大无关组 166

2.3.5　正交向量组与正交矩阵 168

2.3.6　向量空间 170

2.3.7　线性方程组解的结构 172

习题2.3 177

2.4　矩阵的特征值 178

2.4.1　矩阵的特征值与特征向量 178

2.4.2　相似矩阵 181

2.4.3　实对称矩阵的对角化 184

习题2.4 185

2.5　二次齐式 186

2.5.1　二次齐式及其矩阵表示 186

2.5.2　线性变换与合同矩阵 187

2.5.3　化二次型为标准形 191

2.5.4　规范形 196

2.5.5　正定二次型 199

习题2.5 201

参考资料 202

3.1　数值计算中的误差 203

3.1.1　引言 203

第3章　计算方法 203

3.1.2　误差 204

3.1.3　在近似计算中需要注意的一些问题 206

3.2　非线性方程及方程组的解法 207

3.2.1　引言 207

3.2.2　求实根的对分区间法 208

3.2.3　迭代法 211

3.2.4　迭代过程的加速 215

3.2.5　牛顿迭代法 217

3.2.6　弦截法 219

习题3.2 220

3.3　线性方程组的解法 221

3.3.1　Gauss消去法 222

3.3.2　主元素消去法 225

3.3.3　LU分解 227

3.3.4　解线性方程组的迭代法 229

习题3.3 236

3.4　线性插值 236

3.4.1　引言 236

3.4.2　线性插值 238

3.4.3　二次插值 240

3.4.4　n次插值 243

3.4.5　分段插值法 249

3.4.6　Hermite插值 251

3.4.7　分段三次Hermite插值 253

3.4.8　曲线拟合 256

习题3.4 259

3.5　数值积分 261

3.5.1　几种求积公式 261

3.5.2　两种求积公式的误差估计 263

3.5.3　复合公式及其误差估计 264

3.5.4　Richardson外推算法 267

3.5.5　Romberg求积法 268

3.5.6　高斯（Gauss）型求积公式 270

习题3.5 274

参考资料 274

第4章　离散数学 275

4.1　命题逻辑 275

4.1.1　命题与联结词 275

4.1.2　命题与公式 279

4.1.3　等值演算 282

4.1.4　析取范式 285

4.1.5　主合取范式 288

4.1.6　推理理论 290

习题4.1 294

4.2　一阶逻辑 295

4.2.1　一阶逻辑的基本概念 296

4.2.2　一阶语言及其解释 298

4.2.3　等值演算 303

4.2.4　前束范式 304

4.2.5　推理理论 305

习题4.2 309

4.3　集合的概念与运算 310

4.3.1　集合的基本概念 310

4.3.2　集合的运算 311

4.3.3　有限集合的计数 314

习题4.3 315

4.4　关系和函数 316

4.4.1　有序偶和笛卡儿积 316

4.4.2　关系的基本概念 317

4.4.3　关系的运算 318

4.4.4　关系的性质 320

4.4.5　关系的闭包 322

4.4.6　等价关系与划分 325

4.4.7　偏序关系 326

4.4.8　函数的基本概念与性质 331

4.4.9　函数的复合 335

4.4.10　反函数 338

习题4.4 339

4.5　代数系统概述 341

4.5.1　二元运算及其性质 341

4.5.2　代数系统 348

习题4.5 350

4.6　几种典型的代数系统 351

4.6.1　半群，幺半群，群 351

4.6.2　子群 355

4.6.3　环和域 357

4.6.4　格和布尔代数 360

4.6.5　代数系统的同态与同构 363

习题4.6 365

4.7　图的基本概念 366

4.7.1　无向图与有向图 367

4.7.2　通路、回路、图的连通性 371

4.7.3　带权图与最短通路 373

4.7.4　图的矩阵表示 375

习题4.7 379

4.8　树 380

4.8.1　树与生成树 381

4.8.2　根树及其应用 385

习题4.8 391

4.9　几类特殊的图 392

4.9.1　欧拉图与哈密顿图 392

4.9.2　二部图 395

4.9.3　平面图 397

习题4.9 402

4.10　形式语言与自动机 403

4.10.1　形式语言与形式文法 403

4.10.2　有穷自动机 407

4.10.3　有穷自动机与正则文法 413

4.10.4　图灵机 416

习题4.10 422

参考资料 424

第5章　概率论 425

5.1　随机事件与概率 425

5.1.1 随机事件 425

5.1.2　随机事件的概率 428

5.1.3　条件概率与事件的独立性 430

习题5.1 436

5.2.1　离散型随机变量 437

5.2　随机变量与概率分布 437

5.2.2　连续型随机变量 442

5.2.3　分布函数 445

5.2.4　随机变量的函数 449

习题5.2 452

5.3　随机变量的数字特征 453

5.3.1　期望 454

5.3.2　方差 458

习题5.3 463

5.4　大数定律与中心极限定理 464

5.4.1　大数定律 464

5.4.2　中心极限定理 467

习题5.4 469

附表1　标准正态分布上侧临界值表 471

附表2　泊松分布数值表 472

参考资料 473

6.1　傅里叶变换 474

6.1.1　傅里叶积分 474

第6章　积分变换 474

6.1.2　傅里叶变换的基本概念 479

6.1.3　δ函数 483

6.1.4　傅里叶变换的性质 485

习题6.1 488

6.2　拉普拉斯变换 489

6.2.1　拉普拉斯变换的基本概念 489

6.2.2　拉普拉斯变换的性质 492

6.2.3　拉氏变换的逆变换 495

6.2.4　拉氏变换在微分方程求解中的应用 497

6.3　卷积分 499

6.3.1　卷积分的基本概念 499

习题6.2 499

6.3.2　分段函数的卷积分 500

6.3.3　卷积分的性质 506

6.3.4　序列的卷积 507

习题6.3 509

6.4　Z变换 509

6.4.1　Z变换的基本概念 509

6.4.2　Z变换的性质 510

6.4.3　Z逆变换 515

习题6.4 518

6.5　小波变换 519

6.5.1　小波变换的基本概念 519

6.5.2　连续小波变换的性质与离散小波 521

6.5.3　正交小波及例子 522

6.5.4　构造正交小波基的多尺度分析方法 526

参考资料 532